Équation ln(x² - 3x) = ln(4)

Énoncé

Résoudre dans R l'équation (x^2 - 3x) = (4).

Indice : Pense au domaine de validité : x^2 - 3x > 0, puis utilise l'injectivité de .

Correction

1. Étape 1 : Un exercice court en apparence, et pourtant l'un des plus instructifs du chapitre : son domaine n'est pas un intervalle, et l'une de ses solutions est négative. 👉 C'est le contre-exemple à l'automatisme « les solutions négatives se rejettent ». Ce n'est pas x qui doit être positif, c'est l'argument du logarithme — et ici l'argument est x^2 - 3x, qui peut être positif pour un x négatif. ⚠️ Le domaine se résout donc comme une inéquation du second degré, avec un tableau de signes.
2. Étape 2 : Le domaine. Il faut x^2 - 3x > 0, soit x(x-3) > 0. Les racines sont 0 et 3, et le coefficient de x^2 est +1 > 0 : la parabole est une vallée, donc positive à l'extérieur des racines. | x | - | | 0 | | 3 | | + | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | x(x-3) | | + | 0 | - | 0 | + | | [formule] 👉 Deux morceaux, séparés par un trou. C'est ce qui rend cet exercice différent des précédents.

   D = \,]-\,;0[ \,\, ]3\,;+[

3. Étape 3 : La résolution. Structure (A) = (B) : (x^2-3x) = (4) x^2 - 3x = 4 x^2 - 3x - 4 = 0 = 9 + 16 = 25, = 5 x_1 = 3+5{2} = 4 et x_2 = 3-5{2} = -1

   x^2 - 3x - 4 = 0 x \{4\,;-1\}

4. Étape 4 : Le tri, et c'est la surprise de l'exercice : x_1 = 4 > 3 ✓ dans le domaine x_2 = -1 < 0 ✓ dans le domaine aussi ! [formule] Vérification des deux, dans l'équation de départ : x = 4 : 4^2 - 3 4 = 16 - 12 = 4 ✓ donc (4) = (4) x = -1 : (-1)^2 - 3(-1) = 1 + 3 = 4 ✓ donc (4) = (4) 👉 Les deux conviennent, y compris la négative.

   S = \{-1\,;4\}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Rejeter x = -1 « parce qu'un logarithme n'accepte pas les négatifs ». Ce n'est pas x qui doit être positif, c'est l'ARGUMENT. Ici l'argument vaut (-1)^2 - 3(-1) = 4, parfaitement positif — l'élévation au carré et le double changement de signe s'en chargent. 👉 Cet automatisme vient des exercices où l'argument est x lui-même, ou x + a. Dès que l'argument est un trinôme, il faut refaire le tableau de signes. À retenir : Le domaine d'un peut être une réunion d'intervalles — pas nécessairement un seul. 👉 Et la condition porte sur l'argument, jamais sur x. Le contrôle qui tranche en dix secondes : remplacer la solution douteuse dans l'argument et regarder son signe.