Étude de variations de f(x) = x - ln(x)

Énoncé

Soit f(x) = x - (x) définie sur ]0 ; +[. a) Calculer f'(x). b) Étudier le signe de f'(x) et dresser le tableau de variations de f. c) En déduire que pour tout x > 0 : (x) x - 1.

Indice : Pour c), utilise le minimum de f trouvé au b).

Correction

1. Étape 1 : **a)** f'(x) = 1 - 1{x} = x - 1{x}.

   f'(x) = x - 1{x}

2. Étape 2 : **b)** Pour x > 0 : f'(x) = 0 x = 1. f'(x) < 0 sur ]0 ; 1[ et f'(x) > 0 sur ]1 ; +[.
3. Étape 3 : f est décroissante sur ]0 ; 1] et croissante sur [1 ; +[. Minimum en x = 1 : f(1) = 1 - (1) = 1.
4. Étape 4 : **c)** Le minimum de f est 1, donc f(x) 1 pour tout x > 0, c'est-à-dire x - (x) 1, soit (x) x - 1.

   (x) x - 1