Étude de variations de f(x) = x - ln(x)

Énoncé

Soit f(x) = x - (x) définie sur ]0 ; +[. a) Calculer f'(x). b) Étudier le signe de f'(x) et dresser le tableau de variations de f. c) En déduire que pour tout x > 0 : (x) x - 1.

Indice : Pour c), utilise le minimum de f trouvé au b).

Correction

1. Étape 1 : L'exercice a une structure qu'il faut voir d'emblée : les questions a) et b) servent à démontrer c). C'est un schéma très fréquent en Terminale, et il porte un nom : démontrer une inégalité par étude de fonction. Démontrer A B par une étude de fonction : 1. Poser f = B - A — la différence, dans le sens qui rend l'inégalité f 0 ; 2. étudier ses variations pour trouver son minimum ; 3. si ce minimum est 0, l'inégalité est démontrée pour tout x. 👉 Ici f(x) = x - (x) est déjà donnée, et l'on cherche à montrer (x) x - 1, c'est-à-dire f(x) 1. Il suffira donc que le minimum de f vaille 1.
2. Étape 2 : a) f(x) = x - (x) sur ]0\,;+[ : f'(x) = 1 - 1{x} On met au même dénominateur — c'est le geste qui rend le signe lisible : [formule]

   f'(x) = x-1{x}

3. Étape 3 : b) Sur ]0\,;+[, le dénominateur x est strictement positif. Le signe de f' est donc celui de x - 1 : | x | 0 | | 1 | | + | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | x-1 | | - | 0 | + | | | f' | | - | 0 | + | | | f | | | 1 | | | f décroît sur ]0\,;1], croît sur [1\,;+[, donc elle atteint un minimum en x = 1 : f(1) = 1 - (1) = 1 - 0 = 1

   _{]0;+[} f = f(1) = 1

4. Étape 4 : c) Le minimum vaut 1, donc pour tout x > 0 : f(x) 1 x - (x) 1 [formule] 👉 Cette inégalité est l'une des plus utiles du programme. Elle dit que la courbe de est toujours sous sa tangente au point d'abscisse 1 — la droite y = x - 1 — et l'égalité n'a lieu qu'en x = 1. ℹ️ Elle est la jumelle de e^x 1 + x : les deux expriment la même chose, chacune vue depuis sa fonction. On les retrouve dans les majorations de suites et les études de convergence.

   (x) x - 1 pour tout x > 0

5. Étape 5 : L'erreur classique : Conclure « f a un minimum en 1 » sans calculer f(1). Le tableau donne la position du minimum ; c'est sa valeur qui démontre l'inégalité. Sans f(1) = 1, on n'a rien prouvé du tout. 👉 Second piège, plus subtil : poser la différence dans le mauvais sens. Avec g = (x) - x + 1, il faudrait montrer g 0, donc chercher un maximum. Ce n'est pas faux, mais il faut alors être cohérent jusqu'au bout. À retenir : Une inégalité se démontre en étudiant la différence. Minimum 0 ⟹ inégalité vraie partout. 👉 Et (x) x - 1 est à connaître : elle sert de majoration standard, et elle dit que est sous sa tangente en 1 — ce qui traduit sa concavité.