Résoudre une inéquation logarithmique

Énoncé

Résoudre dans R les inéquations suivantes : a) (x) > 1 b) (3x - 2) 0

Indice : est strictement croissante : (a) > k a > e^k (pour a > 0).

Correction

1. Étape 1 : Une inéquation en se traite comme une équation, avec une propriété en plus qui décide de tout : Le logarithme est strictement croissant : [formule] 👉 Croissant, donc le sens de l'inégalité ne change jamais. C'est ce qui rend ces inéquations plus simples que celles où l'on multiplie par un nombre négatif. ⚠️ Mais le domaine reste indispensable, et pour une raison qui vaut d'être vue : la solution finale est l'intersection de ce que donne le calcul et du domaine. En sauter un, c'est produire un intervalle trop grand.
2. Étape 2 : a) Domaine : x > 0. (x) > 1. Comme 1 = (e), l'inéquation s'écrit (x) > (e), et la croissance donne : x > e Intersection avec le domaine : ]e\,;+[ \,\, ]0\,;+[ \,=\, ]e\,;+[. [formule]

   S = \,]e\,;+[

3. Étape 3 : b) Domaine : 3x - 2 > 0 x > 2{3}. (3x-2) 0 = (1), donc par croissance : 3x - 2 1 3x 3 x 1

   x 1 et x > 2{3}

4. Étape 4 : L'intersection, et c'est ici que l'exercice se joue : [formule] [formule] 👉 Le crochet est ouvert en 2{3} (l'argument y vaut 0, donc n'existe pas) et fermé en 1 (l'inégalité de départ est large, et (1) = 0 0 ✓). Sans le domaine, on aurait annoncé ]-\,;1] — un intervalle où la fonction n'existe même pas.

   S = ]2{3}\,;1]

5. Étape 5 : L'erreur classique : Résoudre l'inéquation et oublier de croiser avec le domaine. En b), cela donnerait x 1 tout entier — donc x = 0, x = -5… où (3x-2) n'existe pas. L'erreur ne se voit pas sur le calcul : elle se voit en testant une valeur. 👉 Le contrôle qui coûte dix secondes : prendre une valeur de la solution annoncée et la remplacer dans l'inéquation de départ. Avec x = 0 on tomberait sur (-2) — impossible. À retenir : est croissant : le sens de l'inégalité se conserve. 👉 Et la solution est l'intersection du résultat du calcul avec le domaine — deux ensembles, pas un.