Dériver des fonctions avec ln

Énoncé

Calculer la dérivée de chaque fonction sur son domaine de définition : a) f(x) = (3x) pour x > 0 b) g(x) = (x^2 + 1) c) h(x) = x(x) pour x > 0

Indice : Utilise ( u)' = u'{u} et la dérivée d'un produit pour h.

Correction

1. Étape 1 : Une seule formule à connaître, et tout le reste s'y ramène. Dériver un logarithme : [formule] 👉 La seconde est la première composée : on dérive l'intérieur (u'), et on divise par l'intérieur (u). C'est la formule la plus employée du chapitre. ⚠️ Elle ne vaut que là où u > 0 — ailleurs (u) n'existe pas. C'est pourquoi chaque question donne son domaine.
2. Étape 2 : a) f(x) = (3x) : ici u(x) = 3x, donc u'(x) = 3. f'(x) = 3{3x} = 1{x} 👉 Contrôle indépendant, et il est instructif : (3x) = (3) + (x), et (3) est une constante. Dériver donne donc 0 + 1{x} — le même résultat. Autrement dit, (3x) et (x) ont exactement la même dérivée : elles ne diffèrent que d'une constante, donc leurs courbes se déduisent l'une de l'autre par une translation verticale.

   f'(x) = 1{x}

3. Étape 3 : b) g(x) = (x^2+1) : u(x) = x^2+1, donc u'(x) = 2x. g'(x) = 2x{x^2+1} 👉 Ici x^2 + 1 1 > 0 pour tout réel : cette fonction est définie sur R tout entier, sans aucune restriction. C'est un cas fréquent — un +1 suffit à rendre l'argument toujours positif.

   g'(x) = 2x{x^2+1}

4. Étape 4 : c) h(x) = x(x) : c'est un produit, pas une composée. On applique (uv)' = u'v + uv' avec u = x et v = (x) : h'(x) = 1 (x) + x 1{x} = (x) + 1 👉 Le second terme se simplifie entièrement : x 1{x} = 1. C'est ce qui rend cette dérivée si simple, et x(x) si utile — on la retrouvera en intégration.

   h'(x) = (x) + 1

5. Étape 5 : L'erreur classique : Traiter x(x) comme une composée et écrire 1{x}, ou oublier le u' en b) et écrire 1{x^2+1}. Deux réflexes qui les évitent : repérer la structure avant de dériver — produit, quotient ou composée ? — et, pour une composée, écrire u et u' à part avant d'appliquer la formule. À retenir : ( u)' = u'{u} : dériver l'intérieur, diviser par l'intérieur. 👉 Et un réflexe utile avant de dériver : décomposer avec les règles du quand c'est possible. (3x) = 3 + x rend le calcul immédiat, et \!(a{b}) = a - b transforme un quotient en différence.