Résoudre des équations logarithmiques simples

Énoncé

Résoudre dans R : a) (x) = 3 b) (2x - 1) = 0 c) (x) = -1

Indice : (x) = k x = e^k. N'oublie pas de vérifier le domaine de validité.

Correction

1. Étape 1 : Une équation en se résout en deux temps qui ne se mélangent pas — et c'est l'ordre qui compte. Résoudre une équation logarithmique : 1. Le domaine d'abord : ce qui est dans un doit être strictement positif ; 2. la résolution ensuite : (A) = k A = e^k ; 3. le tri pour finir : on ne garde que les solutions qui respectent le domaine. 👉 L'étape 1 avant l'étape 2, toujours. Chercher le domaine *après* revient à valider des solutions qu'on aurait dû écarter — et le calcul, lui, ne proteste pas. ⚠️ e^k est toujours strictement positif, quel que soit k : une solution de la forme x = e^k ne peut jamais être rejetée pour cause de négativité.
2. Étape 2 : a) Domaine : x > 0. (x) = 3 x = e^3 Et e^3 20{,}09 > 0 : la solution convient. [formule] 👉 On laisse la réponse sous forme exacte, e^3 — une valeur décimale approchée serait une perte d'information.

   x = e^3

3. Étape 3 : b) Domaine : 2x - 1 > 0 x > 1{2}. (2x-1) = 0 2x - 1 = e^0, car (A) = k équivaut à A = e^k. Or e^0 = 1, donc 2x - 1 = 1, puis 2x = 2 et x = 1. Tri : 1 > 1{2} ✓, la solution est dans le domaine puisqu'elle le dépasse. [formule] 👉 Le passage par e^0 = 1 est l'étape qu'on saute : (A) = 0 ne veut pas dire A = 0, mais A = 1.

   x = 1

4. Étape 4 : c) Domaine : x > 0. (x) = -1 x = e^{-1} = 1{e} Et 1{e} 0{,}37 > 0 ✓. [formule] 👉 Un négatif ne signale rien d'anormal : (x) < 0 pour tout x entre 0 et 1. C'est même là que le logarithme prend toutes ses valeurs négatives.

   x = 1{e} = e^{-1}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Résoudre (2x-1) = 0 en écrivant 2x - 1 = 0. C'est confondre « le logarithme vaut 0 » avec « l'argument vaut 0 ». Or (A) = 0 A = 1, et A = 0 est même la seule valeur interdite — (0) n'existe pas. 👉 Le contrôle : remplacer dans l'équation de départ. Avec x = 1{2} on obtiendrait (0), qui n'existe pas — l'erreur se voit. À retenir : Domaine, résolution, tri — dans cet ordre. 👉 Et trois valeurs qui reviennent sans cesse : e^0 = 1, (1) = 0, (e) = 1.