Simplifier des expressions avec ln

Énoncé

Simplifier les expressions suivantes : a) A = (8) + (5) - (4) b) B = 2(3) - (9) + (1) c) C = (e^3) + 2(e)

Indice : Utilise les propriétés (ab) = a + b, (a/b) = a - b et (a^n) = n a.

Correction

1. Étape 1 : Le logarithme transforme les produits en sommes. C'est sa raison d'être, et toutes les règles en découlent. Les quatre règles : [formule] [formule] 👉 Le sens de lecture décide de tout. Pour *simplifier*, on va de la somme vers le produit — plusieurs deviennent un seul. Pour *développer*, on fait l'inverse. ⚠️ Et deux valeurs à connaître par cœur, qui font disparaître des termes entiers : (1) = 0 et (e) = 1.
2. Étape 2 : a) Trois à rassembler en un seul. Les sommes deviennent des produits, les différences des quotients : A = (8) + (5) - (4) = \!(8 5{4}) = \!(40{4}) [formule] 👉 (10) est la réponse : il n'y a rien de plus simple à écrire. Un logarithme n'a pas de « valeur exacte » plus courte, sauf s'il porte sur une puissance de e.

   A = (10)

3. Étape 3 : b) Ici on commence par remonter le coefficient dans le logarithme : 2(3) = (3^2) = (9) Et (1) = 0, donc le dernier terme disparaît : B = (9) - (9) + 0 [formule]

   B = 0

4. Étape 4 : c) Les deux termes portent sur des puissances de e, donc tout se calcule : (e^3) = 3 car (e^k) = k 2(e) = 2 1 = 2 [formule] 👉 C'est le seul cas où un logarithme rend un nombre « rond » : quand son argument est une puissance de e.

   C = 5

5. Étape 5 : L'erreur classique : Écrire (a + b) = (a) + (b). C'est faux. Le logarithme transforme le produit en somme, pas la somme en somme. Contre-épreuve immédiate : (1 + 1) = (2) 0{,}69, alors que (1) + (1) = 0. 👉 Il n'existe aucune règle pour (a+b) : quand on rencontre une somme dans un logarithme, on ne peut rien en faire — sauf si elle se factorise. À retenir : Pour simplifier, on rassemble : produits et quotients d'abord, coefficients remontés en exposants ensuite. 👉 Et l'on guette (1) = 0 et (e) = 1, qui font disparaître des termes entiers.