Approximation affine et estimation d'erreur

Énoncé

Soit f(x) = [3]{x} (racine cubique). a) Calculer f'(x) et donner l'approximation affine de f au voisinage de a = 8. b) En déduire une valeur approchée de [3]{8{,}3}. c) Étudier le signe de f'' sur ]0 ; +[ et en déduire si l'approximation obtenue en b) est une valeur par excès ou par défaut. d) En calculant 2{,}024^3, montrer que l'erreur commise est inférieure à 0{,}001.

Indice : On a f(x) = x^{1/3}, donc f'(x) = 1{3}x^{-2/3}. L'approximation affine donne f(a+h) f(a) + hf'(a). Pour c), une fonction concave a sa courbe SOUS ses tangentes. Pour d), la fonction cube est croissante.

Correction

1. Étape 1 : L'approximation affine remplace une fonction par sa tangente au voisinage d'un point. C'est utile quand le calcul exact est difficile — ici, une racine cubique. Approximation affine : Au voisinage de a : f(x) f(a) + f'(a)(x-a) 👉 Et la convexité dit de quel côté on se trompe : f concave la courbe est sous la tangente l'approximation surestime ; f convexe la courbe est au-dessus l'approximation sous-estime. C'est ce qui permettra de majorer l'erreur à la fin, sans aucun outil nouveau.
2. Étape 2 : a) On écrit f(x) = x^{1/3} pour pouvoir dériver comme une puissance : f'(x) = 1{3}x^{-2/3} = 1{3x^{2/3}} En a = 8 : f(8) = [3]{8} = 2, et 8^{2/3} = (8^{1/3})^2 = 2^2 = 4, donc f'(8) = 1{3 4} = 1{12} [formule]

   f(x) 2 + x-8{12}

3. Étape 3 : b) On applique en x = 8{,}3, donc avec x - 8 = 0{,}3 : [3]{8{,}3} 2 + 0{,3}{12} = 2 + 0{,}025 [formule]

   [3]{8{,}3} 2{,}025

4. Étape 4 : c) Le sens de l'erreur. On calcule la dérivée seconde : f''(x) = 1{3} (-2{3}) x^{-5/3} = -2{9x^{5/3}} Pour x > 0, x^{5/3} > 0, donc f''(x) < 0 : f est concave sur ]0\,;+[. Une fonction concave a sa courbe sous ses tangentes, donc [formule] L'approximation est une valeur par EXCÈS.

   f''(x) < 0 approximation par excès

5. Étape 5 : d) La taille de l'erreur. Il reste à minorer [3]{8{,}3}, et pour cela il suffit d'élever au cube — la fonction x x^3 étant croissante, elle conserve l'ordre. 2{,}024^3 = 8{,}29147 < 8{,}3 donc 2{,}024 < [3]{8{,}3}. En combinant avec la question c) : [formule] L'erreur commise est donc majorée par la largeur de cet encadrement : [formule] ℹ️ La valeur exacte est [3]{8{,}3} 2{,}024694, soit une erreur réelle de 0{,}000306 — trois fois plus petite que la majoration, ce qui est normal pour une majoration.

   2{,}024 < [3]{8{,}3} 2{,}025 erreur < 0{,}001

6. Étape 6 : L'erreur classique : Croire que l'approximation affine donne toujours une valeur par défaut. Le sens de l'erreur dépend de la convexité, et de rien d'autre : concave par excès ; convexe par défaut. Ici f'' < 0, donc on surestime — et c'est bien ce que confirme la valeur exacte. À retenir : La convexité donne le sens de l'erreur. Un calcul direct (élever au cube, ici) donne sa taille. 👉 Deux outils du programme suffisent donc à encadrer une racine cubique, sans aucun théorème du supérieur. Et l'encadrement obtenu est rigoureux, pas seulement approché.