Approximation affine et estimation d'erreur

Énoncé

Soit f(x) = [3]{x} (racine cubique). a) Calculer f'(x) et donner l'approximation affine de f au voisinage de a = 8. b) En déduire une valeur approchée de [3]{8{,}3}. c) Montrer que l'erreur commise est inférieure à 0{,}001 en utilisant un encadrement de f'' sur [8 ; 8{,}3].

Indice : On a f(x) = x^{1/3}, donc f'(x) = 1{3}x^{-2/3}. L'approximation affine donne f(a+h) f(a) + hf'(a).

Correction

1. Étape 1 : **a)** f(x) = x^{1/3}. f'(x) = 1{3} x^{-2/3} = 1{3x^{2/3}}.
2. Étape 2 : f(8) = 2, f'(8) = 1{3 8^{2/3}} = 1{3 4} = 1{12}. Approximation affine : f(x) 2 + 1{12}(x - 8).

   f(x) 2 + x - 8{12}

3. Étape 3 : **b)** [3]{8{,}3} 2 + 0{,3}{12} = 2 + 0{,}025 = 2{,}025.

   [3]{8{,}3} 2{,}025

4. Étape 4 : **c)** f''(x) = -2{9} x^{-5/3}. Sur [8 ; 8{,}3] : |f''(x)| |f''(8)| = 2{9 8^{5/3}} = 2{9 32} = 1{144}.
5. Étape 5 : Par le théorème de Taylor-Lagrange (ou encadrement via le TAF), l'erreur vérifie : || M{2} h^2 = 1{2} 1{144} (0{,}3)^2 = 0{,09}{288} 0{,}0003 < 0{,}001.