Optimisation avec contrainte

Énoncé

On souhaite construire un enclos rectangulaire adossé à un mur (donc clôturé sur trois côtés seulement) avec 120 m de clôture. Soit x la longueur du côté perpendiculaire au mur. a) Exprimer l'aire A(x) en fonction de x et préciser le domaine. b) Calculer A'(x) et déterminer les dimensions qui maximisent l'aire. c) Vérifier le résultat en étudiant la convexité de A.

Indice : Avec 120 m de clôture pour 3 côtés : 2x + y = 120, donc y = 120 - 2x.

Correction

1. Étape 1 : Même trame que le problème précédent, avec deux points propres à ce type d'énoncé : le domaine de la variable, et une modélisation qu'il faut lire avec soin. 👉 « Adossé à un mur » signifie qu'un côté n'est pas clôturé : la clôture ne couvre que trois côtés. C'est là que se joue toute la mise en équation, et l'erreur y est fréquente. Le domaine n'est pas décoratif : Il garantit que les deux dimensions restent positives. Ici x > 0 et y = 120 - 2x > 0, d'où x < 60.
2. Étape 2 : a) Soit x la longueur des côtés perpendiculaires au mur, et y celle du côté parallèle. La clôture couvre deux côtés de longueur x et un de longueur y : 2x + y = 120 y = 120 - 2x L'aire du rectangle : A(x) = x y = x(120 - 2x) = 120x - 2x^2 Domaine : x > 0 et y > 0 120 - 2x > 0 x < 60. [formule]

   A(x) = 120x - 2x^2 (0 < x < 60)

3. Étape 3 : b) On dérive : A'(x) = 120 - 4x A'(x) = 0 x = 30 Le coefficient -4 étant négatif, A' est positive avant 30 et négative après : A croît puis décroît, donc maximum en x = 30. y = 120 - 2 30 = 60 [formule]

   A_{} = 1800 m^2 pour x = 30,\ y = 60

4. Étape 4 : c) La concavité confirme, et donne davantage : A''(x) = -4 < 0 pour tout x A est donc concave sur ]0\,;60[. Sur une fonction concave, un point où la dérivée s'annule est un maximum global. 👉 C'est plus fort que le tableau de signes de la question b), qui n'établissait qu'un maximum local. La concavité, elle, garantit qu'aucune autre valeur de x ne fera mieux. ℹ️ Et une observation sur la forme optimale : y = 60 = 2x. Le côté parallèle au mur vaut le double des deux autres — l'enclos optimal est deux fois plus large que profond.

   A''(x) = -4 < 0 maximum global

5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier que le mur remplace un côté, et écrire 2x + 2y = 120. On trouverait alors y = 60 - x, puis un carré de 30 m de côté d'aire 900 m² — soit la moitié de l'aire réellement atteignable. La lecture de l'énoncé décide donc du résultat plus sûrement que le calcul. À retenir : Préciser le domaine : il traduit la contrainte physique que les deux dimensions soient positives. 👉 Et la concavité (A'' < 0) prouve que le maximum est global, là où un tableau de signes ne donne qu'un maximum local.