Optimisation avec contrainte

Énoncé

On souhaite construire un enclos rectangulaire adossé à un mur (donc clôturé sur trois côtés seulement) avec 120 m de clôture. Soit x la longueur du côté perpendiculaire au mur. a) Exprimer l'aire A(x) en fonction de x et préciser le domaine. b) Calculer A'(x) et déterminer les dimensions qui maximisent l'aire. c) Vérifier le résultat en étudiant la convexité de A.

Indice : Avec 120 m de clôture pour 3 côtés : 2x + y = 120, donc y = 120 - 2x.

Correction

1. Étape 1 : **a)** La clôture couvre deux côtés de longueur x et un côté de longueur y : 2x + y = 120, soit y = 120 - 2x.
2. Étape 2 : A(x) = x y = x(120 - 2x) = 120x - 2x^2 avec 0 < x < 60.

   A(x) = 120x - 2x^2 (0 < x < 60)

3. Étape 3 : **b)** A'(x) = 120 - 4x. A'(x) = 0 x = 30.
4. Étape 4 : Pour x < 30 : A'(x) > 0 ; pour x > 30 : A'(x) < 0. Maximum en x = 30.
5. Étape 5 : y = 120 - 2 30 = 60. L'aire maximale est A(30) = 30 60 = 1800 m².

   A_{} = 1800 m^2 pour x = 30 m, y = 60 m

6. Étape 6 : **c)** A''(x) = -4 < 0 : A est **concave** sur ]0 ; 60[, donc le point critique x = 30 est bien un **maximum global**.