Dérivées de fonctions composées complexes

Énoncé

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes : a) f(x) = (x+1{x-1})^3 pour x 1 b) g(x) = {2x+1{x+3}} pour x > -3 c) h(x) = 1{x^2+4}

Indice : Utilise la règle de la chaîne : (u^n)' = nu'u^{n-1}, (u)' = u'/(2u), (1/u)' = -u'/u^2.

Correction

1. Étape 1 : **a)** On pose u(x) = x+1{x-1}. u'(x) = (x-1)-(x+1){(x-1)^2} = -2{(x-1)^2}.
2. Étape 2 : f'(x) = 3u'(x) u(x)^2 = 3 -2{(x-1)^2} (x+1{x-1})^2 = -6(x+1)^2{(x-1)^4}.

   f'(x) = -6(x+1)^2{(x-1)^4}

3. Étape 3 : **b)** On pose u(x) = 2x+1{x+3}. u'(x) = 2(x+3)-(2x+1){(x+3)^2} = 5{(x+3)^2}.
4. Étape 4 : g'(x) = u'{2u} = 5{2(x+3)^2} 1{{2x+1{x+3}}} = 5{2(x+3)^2} {x+3}{2x+1} = 5{2(x+3)^{3/2}2x+1}.

   g'(x) = 5{2(x+3)^{3/2}2x+1}

5. Étape 5 : **c)** On pose u(x) = x^2 + 4, v(x) = u(x). h(x) = 1/v(x).
6. Étape 6 : v'(x) = 2x{2x^2+4} = x{x^2+4}. Donc h'(x) = -v'{v^2} = -x{x^2+4} 1{x^2+4} = -x{(x^2+4)^{3/2}}.

   h'(x) = -x{(x^2+4)^{3/2}}