Dérivées de fonctions composées complexes

Énoncé

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes : a) f(x) = (x+1{x-1})^3 pour x 1 b) g(x) = {2x+1{x+3}} pour x > -3 c) h(x) = 1{x^2+4}

Indice : Utilise la règle de la chaîne : (u^n)' = nu'u^{n-1}, (u)' = u'/(2u), (1/u)' = -u'/u^2.

Correction

1. Étape 1 : Trois dérivées où plusieurs formules s'emboîtent. La méthode qui évite de se perdre tient en trois lignes séparées. Dériver une composée à plusieurs étages : 1. identifier la fonction externe — puissance, racine, inverse ; 2. poser u = ce qu'elle contient, et calculer u' à part ; 3. appliquer la formule externe, en y reportant u et u'. 👉 Ne jamais tout faire d'un coup : c'est en essayant de dériver mentalement les deux étages à la fois qu'on perd un facteur. ⚠️ Et ici u est elle-même un quotient : il faudra la formule (a{b})' = a'b - ab'{b^2} pour obtenir u'.
2. Étape 2 : a) f(x) = (x+1{x-1})^3 : la fonction externe est la puissance 3. On pose u(x) = x+1{x-1} et l'on calcule u' à part : u'(x) = 1 (x-1) - (x+1) 1{(x-1)^2} = x - 1 - x - 1{(x-1)^2} = -2{(x-1)^2} Puis (u^3)' = 3u'u^2 : f'(x) = 3 -2{(x-1)^2} (x+1)^2{(x-1)^2} = -6(x+1)^2{(x-1)^4}

   f'(x) = -6(x+1)^2{(x-1)^4}

3. Étape 3 : b) g(x) = {2x+1{x+3}} : la fonction externe est la racine. u(x) = 2x+1{x+3}, donc u'(x) = 2(x+3) - (2x+1){(x+3)^2} = 2x + 6 - 2x - 1{(x+3)^2} = 5{(x+3)^2} Puis (u)' = u'{2u}, en écrivant u = {2x+1}{x+3} : g'(x) = 5{(x+3)^2} {x+3}{22x+1} = 5{2(x+3)^{3/2}2x+1} 👉 La simplification (x+3)^{2}{(x+3)^{1/2}} = (x+3)^{3/2} emploie la règle des exposants : 2 - 1{2} = 3{2}.

   g'(x) = 5{2(x+3)^{3/2}2x+1}

4. Étape 4 : c) h(x) = 1{x^2+4} : deux étages emboîtés — un inverse d'une racine. On procède de l'intérieur vers l'extérieur. D'abord la racine : v(x) = x^2+4, donc v'(x) = 2x{2x^2+4} = x{x^2+4} Puis l'inverse, avec (1{v})' = -v'{v^2} et v^2 = x^2+4 : h'(x) = -x{x^2+4} 1{x^2+4} = -x{(x^2+4)^{3/2}}

   h'(x) = -x{(x^2+4)^{3/2}}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Appliquer la formule externe sans avoir calculé u' à part, et perdre un facteur au passage. En a), oublier le u' = -2{(x-1)^2} donnerait 3(x+1{x-1})^2 — le signe disparaîtrait, et avec lui le sens de variation. C'est une erreur qui ne se voit pas au résultat. À retenir : Trois lignes séparées : identifier l'externe, calculer u', appliquer. 👉 Et pour une composée à deux étages comme en c), procéder de l'intérieur vers l'extérieur : on dérive d'abord la racine, puis l'inverse.