Étude complète d'une fonction rationnelle

Énoncé

Soit f(x) = x^2 + 1{x} définie sur R^*. a) Déterminer le domaine de définition et les limites aux bornes. b) Montrer que la droite y = x est asymptote oblique. c) Calculer f'(x) et dresser le tableau de variations. d) Étudier la convexité de f et tracer la courbe.

Indice : Effectue la division : f(x) = x + 1/x. Pour la convexité, calcule f''(x).

Correction

1. Étape 1 : Une étude complète qui rassemble ce chapitre et le précédent. Un seul geste préalable simplifie tout le reste : Décomposer la fraction : [formule] 👉 Sous cette forme, l'asymptote oblique se lit, la dérivée est immédiate, et la dérivée seconde aussi. C'est un réflexe général : sur une fraction rationnelle, chercher d'abord si elle se décompose.
2. Étape 2 : a) D_f = R^* = \,]-\,;0[ \,\, ]0\,;+[. Sur f(x) = x + 1{x}, les limites en 0 se lisent sur le terme 1{x}, puisque x 0 : _{x 0^+} f(x) = + et _{x 0^-} f(x) = - La droite x = 0 (l'axe des ordonnées) est asymptote verticale. b) f(x) - x = 1{x} [x ]{} 0, donc [formule]

   x = 0 (verticale) ; y = x (oblique)

3. Étape 3 : c) La forme décomposée rend la dérivée immédiate : f'(x) = 1 - 1{x^2} = x^2 - 1{x^2} Le dénominateur x^2 est toujours positif, donc le signe de f' est celui de x^2 - 1 = (x-1)(x+1) : | x | - | | -1 | | 0 | | 1 | | + | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | f' | | + | 0 | - | \|\| | - | 0 | + | | | f | | | -2 | | | | 2 | | | maximum local en -1 : f(-1) = -1 - 1 = -2 · minimum local en 1 : f(1) = 1 + 1 = 2

   max local f(-1) = -2 ; min local f(1) = 2

4. Étape 4 : 👉 Une curiosité qui vaut d'être remarquée : le maximum local vaut -2, et le minimum local vaut 2. Le maximum est donc plus petit que le minimum ! Ce n'est pas une contradiction : la fonction n'est pas définie en 0, donc ses deux branches sont indépendantes. Un extremum local ne compare la valeur qu'à celles de son voisinage immédiat, pas à celles de l'autre branche. C'est exactement pourquoi on dit « local » et non « global ».
5. Étape 5 : d) La dérivée seconde, toujours sur la forme décomposée : f'(x) = 1 - x^{-2}, donc f''(x) = 2x^{-3} = 2{x^3} pour x > 0 : f''(x) > 0, f est convexe ; pour x < 0 : f''(x) < 0, f est concave. ⚠️ La concavité change en 0 — et pourtant il n'y a AUCUN point d'inflexion. La raison : 0 D_f, donc il n'existe aucun point de la courbe à cet endroit. Un point d'inflexion est un point de la courbe, pas seulement un changement de courbure.

   f''(x) = 2{x^3} ; aucun point d'inflexion

6. Étape 6 : L'erreur classique : Annoncer un point d'inflexion en x = 0 parce que la concavité y change. 0 n'appartient pas au domaine : la courbe n'y passe pas, donc il n'y a rien à y placer. Un point d'inflexion doit être un point de la courbe — il faut donc vérifier que l'abscisse appartient bien à D_f. À retenir : Décomposer la fraction avant tout : x^2+1{x} = x + 1{x} donne l'asymptote, la dérivée et la dérivée seconde d'un coup. 👉 Et deux vigilances : un maximum local peut être inférieur à un minimum local sur une fonction à plusieurs branches ; et un changement de concavité en dehors du domaine ne produit pas de point d'inflexion.