Étude complète d'une fonction rationnelle

Énoncé

Soit f(x) = x^2 + 1{x} définie sur R^*. a) Déterminer le domaine de définition et les limites aux bornes. b) Montrer que la droite y = x est asymptote oblique. c) Calculer f'(x) et dresser le tableau de variations. d) Étudier la convexité de f et tracer la courbe.

Indice : Effectue la division : f(x) = x + 1/x. Pour la convexité, calcule f''(x).

Correction

1. Étape 1 : **a)** D_f = R^*. _{x 0^+} f(x) = +, _{x 0^-} f(x) = -. La droite x = 0 est asymptote verticale.
2. Étape 2 : **b)** f(x) = x + 1{x}. Donc f(x) - x = 1{x} 0 quand x : la droite y = x est asymptote oblique.

   y = x asymptote oblique

3. Étape 3 : **c)** f'(x) = 1 - 1{x^2} = x^2 - 1{x^2}. f'(x) = 0 x = 1.
4. Étape 4 : f'(x) > 0 si |x| > 1 et f'(x) < 0 si 0 < |x| < 1. Maximum local en x = -1 : f(-1) = -2. Minimum local en x = 1 : f(1) = 2.
5. Étape 5 : **d)** f''(x) = 2{x^3}. Pour x > 0 : f'' > 0 (convexe). Pour x < 0 : f'' < 0 (concave). Pas de point d'inflexion (f'' ne s'annule pas).