Position relative courbe/tangente

Énoncé

Soit f(x) = x - (x) définie sur ]0 ; +[. a) Calculer f'(x) et f''(x). b) Étudier la convexité de f. c) Écrire l'équation de la tangente T au point d'abscisse 1. d) Montrer que la courbe de f est au-dessus de T sur ]0 ; +[.

Indice : La convexité implique que la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes.

Correction

1. Étape 1 : Même schéma que l'exercice sur e^x 1+x, appliqué cette fois au logarithme — et l'inégalité obtenue est l'une des plus utilisées de toute la Terminale. Rappel : convexité et tangentes : f convexe sa courbe est au-dessus de toutes ses tangentes : [formule] 👉 La question d) demande exactement cette inégalité, en un point a que la question c) désigne : a = 1. ⚠️ Et un point à ne pas perdre de vue : tout se passe sur ]0\,;+[, car c'est là que existe. L'inégalité finale n'aura de sens que sur cet intervalle.
2. Étape 2 : a) f(x) = x - (x) sur ]0\,;+[ : f'(x) = 1 - 1{x} f''(x) = 0 - (-1{x^2}) = 1{x^2} ⚠️ Attention au double signe : la dérivée de -1{x} est +1{x^2}, puisque (1{x})' = -1{x^2}.

   f'(x) = 1 - 1{x} ; f''(x) = 1{x^2}

3. Étape 3 : b) f''(x) = 1{x^2} > 0 pour tout x > 0 — c'est un quotient de deux quantités positives. [formule] c) La tangente au point d'abscisse 1 : f(1) = 1 - (1) = 1 - 0 = 1 et f'(1) = 1 - 1 = 0 T : y = 0 (x-1) + 1, soit [formule] La tangente est horizontale — ce qui signifie que f a un extremum en 1. Et comme f est convexe, c'est un minimum.

   T : y = 1

4. Étape 4 : d) f étant convexe, sa courbe est au-dessus de sa tangente : f(x) 1 pour tout x > 0 c'est-à-dire x - (x) 1, d'où en réarrangeant : [formule] 👉 Contrôle sur trois valeurs : en x = 1, 1 = 0 = 1-1 (égalité, c'est le point de contact) ; en x = e, 1 e - 1 1{,}72 ✓ ; en x = 0{,}5, 0{,}5 -0{,}69 -0{,}5 ✓

   (x) x - 1 sur ]0\,;+[

5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier de préciser le domaine ]0\,;+[. L'inégalité (x) x-1 n'a de sens que là où existe. L'écrire « pour tout x » est une faute, et elle coûte le point de rédaction. À retenir : [formule] 👉 Ces deux inégalités sont jumelles : en posant x = t dans la seconde, on obtient t 1 + t, c'est-à-dire la première. Les connaître toutes les deux dispense d'en redémontrer une.