Position relative courbe/tangente

Énoncé

Soit f(x) = x - (x) définie sur ]0 ; +[. a) Calculer f'(x) et f''(x). b) Étudier la convexité de f. c) Écrire l'équation de la tangente T au point d'abscisse 1. d) Montrer que la courbe de f est au-dessus de T sur ]0 ; +[.

Indice : La convexité implique que la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes.

Correction

1. Étape 1 : **a)** f'(x) = 1 - 1{x} et f''(x) = 1{x^2}.
2. Étape 2 : **b)** f''(x) = 1{x^2} > 0 pour tout x > 0. Donc f est **convexe** sur ]0 ; +[.
3. Étape 3 : **c)** f(1) = 1 - (1) = 1 et f'(1) = 1 - 1 = 0. Tangente en (1 ; 1) : y = 0 (x - 1) + 1 = 1.

   T : y = 1

4. Étape 4 : **d)** f est convexe, donc f(x) f(1) + f'(1)(x - 1) = 1 pour tout x > 0.
5. Étape 5 : Ainsi x - (x) 1, soit (x) x - 1 pour tout x > 0. La courbe est bien au-dessus de la tangente.

   (x) x - 1