Trouver les points d'inflexion

Énoncé

Soit f(x) = x^4 - 6x^2 + 8x + 3. a) Calculer f''(x). b) Résoudre f''(x) = 0. c) Déterminer les points d'inflexion de la courbe de f.

Indice : Calcule f'', résous f''(x) = 0, puis vérifie que f'' change de signe en chaque solution.

Correction

1. Étape 1 : **a)** f'(x) = 4x^3 - 12x + 8. f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x^2 - 1) = 12(x-1)(x+1).
2. Étape 2 : **b)** f''(x) = 0 x = -1 ou x = 1.
3. Étape 3 : **c)** Tableau de signes de f'' : pour x < -1, f'' > 0 ; pour -1 < x < 1, f'' < 0 ; pour x > 1, f'' > 0.
4. Étape 4 : f'' change de signe en x = -1 et x = 1 : ce sont des **points d'inflexion**.
5. Étape 5 : f(-1) = 1 - 6 - 8 + 3 = -10 et f(1) = 1 - 6 + 8 + 3 = 6. Les points d'inflexion sont (-1 ; -10) et (1 ; 6).

   (-1\,;\,-10) et (1\,;\,6)