Trouver les points d'inflexion

Énoncé

Soit f(x) = x^4 - 6x^2 + 8x + 3. a) Calculer f''(x). b) Résoudre f''(x) = 0. c) Déterminer les points d'inflexion de la courbe de f.

Indice : Calcule f'', résous f''(x) = 0, puis vérifie que f'' change de signe en chaque solution.

Correction

1. Étape 1 : Un point d'inflexion n'est pas « un point où f'' s'annule » : c'est un point où f'' change de signe. La nuance décide de tout, et l'exercice suivant en donnera le contre-exemple. Point d'inflexion : Le point d'abscisse a est un point d'inflexion f'' change de signe en a. 👉 Géométriquement, c'est le point où la courbe traverse sa tangente : elle passe de concave à convexe, ou l'inverse. ⚠️ Et l'énoncé demande les points, donc leurs deux coordonnées : il faudra calculer f(a), pas seulement trouver a.
2. Étape 2 : a) On dérive deux fois, puis on factorise — c'est la factorisation qui permettra de lire le signe : f'(x) = 4x^3 - 12x + 8 f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x^2 - 1) = 12(x-1)(x+1) b) f''(x) = 0 x = -1 ou x = 1.

   f''(x) = 12(x-1)(x+1)

3. Étape 3 : c) Tableau de signes du produit (x-1)(x+1) : | x | - | | -1 | | 1 | | + | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | f''(x) | | + | 0 | - | 0 | + | | | f | | convexe | | concave | | convexe | | f'' change de signe en -1 et en 1 : ce sont donc deux points d'inflexion.

   changements de signe en -1 et 1

4. Étape 4 : Les coordonnées. On calcule f en ces deux abscisses : f(-1) = 1 - 6 - 8 + 3 = -10 f(1) = 1 - 6 + 8 + 3 = 6 [formule] ⚠️ En -1, bien traiter les signes : (-1)^4 = 1, -6 (-1)^2 = -6, 8 (-1) = -8.

   (-1\,;\,-10) et (1\,;\,6)

5. Étape 5 : L'erreur classique : Répondre « les points d'inflexion sont -1 et 1 ». Ce sont les abscisses. Un point du plan a deux coordonnées, et l'énoncé demande les points : il faut calculer f(-1) et f(1). À retenir : f'' doit s'annuler et changer de signe. Puis calculer f(a) pour donner le point complet. 👉 Et factoriser f'' avant d'étudier son signe : 12(x-1)(x+1) se lit d'un coup d'œil, 12x^2 - 12 non.