Convexité d'une fonction simple

Énoncé

Soit f(x) = e^x - x. a) Calculer f''(x). b) En déduire la convexité de f sur R. c) Montrer que pour tout x R : e^x 1 + x.

Indice : Calcule f''(x) et étudie son signe. Pour c), utilise la position relative de la courbe et de la tangente.

Correction

1. Étape 1 : Trois questions dont la dernière est la plus intéressante : elle utilise la convexité pour démontrer une inégalité. C'est l'une des applications les plus fréquentes du chapitre au bac. Convexité et tangentes : Si f est convexe sur un intervalle, sa courbe est au-dessus de toutes ses tangentes : [formule] 👉 C'est cette inégalité qui produit la démonstration : on choisit un point a bien placé, on écrit la tangente, et l'inégalité tombe. ⚠️ Et le choix de a n'est pas libre : il faut celui qui donne la tangente demandée. Ici l'inégalité à prouver est e^x 1 + x, dont le membre de droite ressemble à une tangente en 0.
2. Étape 2 : a) f(x) = e^x - x, donc f'(x) = e^x - 1 et f''(x) = e^x b) f''(x) = e^x > 0 pour tout x réel, sans exception. [formule]

   f''(x) = e^x > 0 f convexe sur R

3. Étape 3 : c) On écrit la tangente en a = 0 : f(0) = e^0 - 0 = 1 et f'(0) = e^0 - 1 = 0 T : y = f'(0)(x - 0) + f(0) = 0 x + 1 = 1 La tangente en 0 est donc la droite horizontale y = 1.

   T : y = 1

4. Étape 4 : Comme f est convexe, sa courbe est au-dessus de cette tangente : f(x) 1 pour tout x R c'est-à-dire e^x - x 1 et en ajoutant x aux deux membres : [formule] 👉 Contrôle sur quelques valeurs : en x = 0, 1 1 (égalité, c'est le point de contact) ; en x = 1, e 2{,}72 2 ✓ ; en x = -2, e^{-2} 0{,}14 -1 ✓

   e^x 1 + x

5. Étape 5 : L'erreur classique : Choisir un point a au hasard pour écrire la tangente. L'inégalité à démontrer dicte le choix : 1 + x est une fonction affine, donc c'est une tangente, et l'on cherche en quel point. Ici elle vaut 1 en x = 0 — le point de contact est donc a = 0. Partir d'un autre point donnerait une inégalité vraie mais différente de celle demandée. À retenir : Convexe au-dessus des tangentes. Concave en dessous. 👉 Méthode pour démontrer une inégalité par convexité : identifier le membre affine comme une tangente, trouver son point de contact, vérifier la convexité, conclure. L'inégalité e^x 1+x ainsi obtenue est d'ailleurs l'une des plus utiles de toute la Terminale.