Convexité d'une fonction simple

Énoncé

Soit f(x) = e^x - x. a) Calculer f''(x). b) En déduire la convexité de f sur R. c) Montrer que pour tout x R : e^x 1 + x.

Indice : Calcule f''(x) et étudie son signe. Pour c), utilise la position relative de la courbe et de la tangente.

Correction

1. Étape 1 : **a)** f'(x) = e^x - 1. Donc f''(x) = e^x.
2. Étape 2 : **b)** f''(x) = e^x > 0 pour tout x R. Donc f est **convexe** sur R.
3. Étape 3 : **c)** f est convexe, donc sa courbe est au-dessus de toutes ses tangentes. La tangente en x = 0 : y = f(0) + f'(0)(x - 0) = 1 + 0 x = 1.
4. Étape 4 : Donc f(x) 1 pour tout x, soit e^x - x 1, c'est-à-dire e^x 1 + x.

   e^x 1 + x