Problème d'optimisation avec composée

Énoncé

Un fabricant doit concevoir une boîte cylindrique ouverte (sans couvercle) de volume V = 500 cm³. Le coût est proportionnel à la surface totale (fond + paroi latérale). a) Exprimer la surface S en fonction du rayon r uniquement. b) Calculer S'(r) et déterminer le rayon qui minimise la surface. c) En déduire les dimensions optimales.

Indice : Le volume V = r^2 h = 500 permet d'exprimer h en fonction de r. La surface est S = r^2 + 2 r h.

Correction

1. Étape 1 : **a)** V = r^2 h = 500, donc h = 500{ r^2}.
2. Étape 2 : S = r^2 + 2 r h = r^2 + 2 r 500{ r^2} = r^2 + 1000{r}.

   S(r) = r^2 + 1000{r} (r > 0)

3. Étape 3 : **b)** S'(r) = 2 r - 1000{r^2}.
4. Étape 4 : S'(r) = 0 2 r = 1000{r^2} 2 r^3 = 1000 r^3 = 500{} r = [3]{500{}}.
5. Étape 5 : r = [3]{500{}} 5{,}42 cm.
6. Étape 6 : S''(r) = 2 + 2000{r^3} > 0 pour tout r > 0 : S est convexe, donc r 5{,}42 donne bien un **minimum**.
7. Étape 7 : **c)** h = 500{ r^2} = 500{ (500{})^{2/3}} = 500^{1/3}{^{1/3}} = r. Les dimensions optimales sont r 5{,}42 cm et h 5{,}42 cm (hauteur égale au rayon).

   r = h = [3]{500{}} 5{,}42 cm