Problème d'optimisation avec composée

Énoncé

Un fabricant doit concevoir une boîte cylindrique ouverte (sans couvercle) de volume V = 500 cm³. Le coût est proportionnel à la surface totale (fond + paroi latérale). a) Exprimer la surface S en fonction du rayon r uniquement. b) Calculer S'(r) et déterminer le rayon qui minimise la surface. c) En déduire les dimensions optimales.

Indice : Le volume V = r^2 h = 500 permet d'exprimer h en fonction de r. La surface est S = r^2 + 2 r h.

Correction

1. Étape 1 : Un problème d'optimisation suit toujours la même trame, et c'est la première étape qui décide de tout. Optimiser sous contrainte : 1. écrire la contrainte (ici le volume) et s'en servir pour éliminer une variable ; 2. exprimer la quantité à optimiser en fonction d'une seule variable ; 3. dériver, annuler, étudier le signe ; 4. conclure en revenant au problème concret. 👉 L'étape 1 est celle qu'on rate : sans elle, la surface dépend de deux variables r et h, et l'on ne peut pas dériver. ⚠️ Et un détail de l'énoncé qui change le résultat : la boîte est ouverte, donc il n'y a pas de couvercle à compter.
2. Étape 2 : a) La contrainte. Le volume d'un cylindre vaut V = r^2 h, et il est imposé à 500 : r^2 h = 500 h = 500{ r^2} La surface. Fond (un disque) plus paroi latérale (un rectangle enroulé) : S = r^2_{fond} + 2 r h_{paroi} On y remplace h : S = r^2 + 2 r 500{ r^2} = r^2 + 1000{r} [formule]

   S(r) = r^2 + 1000{r}

3. Étape 3 : b) On dérive : S'(r) = 2 r - 1000{r^2} S'(r) = 0 2 r = 1000{r^2} 2 r^3 = 1000 r^3 = 500{} [formule]

   r = [3]{500{}} 5{,}42 cm

4. Étape 4 : C'est bien un minimum, et c'est ici que la convexité du chapitre sert : S''(r) = 2 + 2000{r^3} > 0 pour tout r > 0 S est donc convexe sur ]0\,;+[. Un point où la dérivée s'annule sur une fonction convexe est nécessairement un minimum global. 👉 C'est plus rapide et plus fort qu'un tableau de signes : la convexité donne le caractère global du minimum, qu'un tableau local ne donnerait pas.

   S''(r) > 0 minimum global

5. Étape 5 : c) On revient à h : h = 500{ r^2}, et comme r^3 = 500{}, on peut remplacer : h = r^3{r^2} = r [formule] 👉 Résultat remarquable : la boîte ouverte la plus économique a une hauteur égale à son rayon — donc un diamètre deux fois plus grand que sa hauteur. C'est une forme large et basse, ce que confirme l'intuition : le fond ne coûte qu'une fois, la paroi latérale coûte sur toute la hauteur. ℹ️ Pour une boîte fermée (avec couvercle), le résultat serait différent : h = 2r.

   h = r = [3]{500{}} 5{,}42 cm

6. Étape 6 : L'erreur classique : Oublier d'utiliser la contrainte, et tenter de dériver S = r^2 + 2 rh « par rapport à r » en traitant h comme une constante. h dépend de r — c'est tout l'objet de la contrainte. Le traiter comme fixe donne S' = 2 r + 2 h, qui ne s'annule jamais pour r, h > 0 : on conclurait qu'il n'y a pas de minimum. Second piège : compter le couvercle. L'énoncé dit ouverte, et l'ajouter changerait le résultat. À retenir : Contrainte élimination une seule variable dérivée. 👉 Et la convexité (S'' > 0) prouve le minimum sans tableau de signes, et le prouve global. C'est l'application la plus directe du chapitre.