Étude de convexité complète

Énoncé

Soit f(x) = x^3{3} - 2x^2 + 3x + 1. a) Calculer f'(x) et f''(x). b) Déterminer la convexité de f. c) Trouver le point d'inflexion et l'équation de la tangente en ce point.

Indice : Le point d'inflexion est le lieu où f'' s'annule en changeant de signe.

Correction

1. Étape 1 : Trois questions qui enchaînent naturellement : les deux dérivées, la convexité, puis la tangente au point d'inflexion — qui a une propriété que les autres tangentes n'ont pas. La tangente au point d'inflexion : En un point d'inflexion, la courbe traverse sa tangente : elle est d'un côté avant, de l'autre après. 👉 C'est ce qui la distingue de toutes les autres tangentes, qui restent d'un seul côté de la courbe (au-dessus si concave, en dessous si convexe). Une question sur la position relative en découle souvent.
2. Étape 2 : a) f(x) = x^3{3} - 2x^2 + 3x + 1 : f'(x) = x^2 - 4x + 3 f''(x) = 2x - 4 👉 Le 1{3} devant x^3 n'est pas décoratif : il est choisi pour que la dérivée soit un trinôme unitaire, donc plus simple.

   f'(x) = x^2-4x+3 ; f''(x) = 2x-4

3. Étape 3 : b) f''(x) = 0 x = 2, et le coefficient 2 est positif : pour x < 2 : f''(x) < 0, f est concave ; pour x > 2 : f''(x) > 0, f est convexe. c) f'' change de signe en 2, donc le point d'abscisse 2 est un point d'inflexion. f(2) = 8{3} - 2 4 + 3 2 + 1 = 8{3} - 8 + 6 + 1 = 8{3} - 1 = 5{3} Le point d'inflexion est (2\,;\,5{3}).

   point d\'inflexion (2\,;\,5{3})

4. Étape 4 : La tangente en ce point. On applique y = f'(a)(x-a) + f(a) avec a = 2 : f'(2) = 4 - 8 + 3 = -1 y = -1 (x - 2) + 5{3} = -x + 2 + 5{3} = -x + 6{3} + 5{3} [formule] Contrôle : en x = 2, -2 + 11{3} = -6+11{3} = 5{3} ✓ — la tangente passe bien par le point de contact.

   T : y = -x + 11{3}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Confondre f(2) et f'(2) dans la formule de la tangente. Ici f(2) = 5{3} et f'(2) = -1 : les intervertir donnerait y = 5{3}(x-2) - 1, une droite qui ne passe pas par le point d'inflexion. Le contrôle par substitution le refuse aussitôt. À retenir : y = f'(a)(x-a) + f(a) : f'(a) est la pente, f(a) l'ordonnée du point de contact. 👉 Et la propriété du point d'inflexion : c'est le seul point où la courbe traverse sa tangente. Partout ailleurs, elle reste du même côté.