Étude de convexité complète

Énoncé

Soit f(x) = x^3{3} - 2x^2 + 3x + 1. a) Calculer f'(x) et f''(x). b) Déterminer la convexité de f. c) Trouver le point d'inflexion et l'équation de la tangente en ce point.

Indice : Le point d'inflexion est le lieu où f'' s'annule en changeant de signe.

Correction

1. Étape 1 : **a)** f'(x) = x^2 - 4x + 3. f''(x) = 2x - 4.
2. Étape 2 : **b)** f''(x) = 0 x = 2. Pour x < 2 : f''(x) < 0 (concave). Pour x > 2 : f''(x) > 0 (convexe).
3. Étape 3 : **c)** f'' change de signe en x = 2 : c'est un point d'inflexion.
4. Étape 4 : f(2) = 8{3} - 8 + 6 + 1 = 8{3} - 1 = 5{3}. Le point d'inflexion est (2 ; 5{3}).
5. Étape 5 : f'(2) = 4 - 8 + 3 = -1. Tangente : y = -1(x - 2) + 5{3} = -x + 2 + 5{3} = -x + 11{3}.

   y = -x + 11{3}