Dérivée d'une composée et variations

Énoncé

Soit f(x) = x^2 - 4x + 5. a) Vérifier que x^2 - 4x + 5 > 0 pour tout x R. b) Calculer f'(x). c) Étudier les variations de f.

Indice : Montre que le discriminant de x^2 - 4x + 5 est négatif. Puis utilise (u)' = u'/(2u).

Correction

1. Étape 1 : **a)** = 16 - 20 = -4 < 0 et le coefficient de x^2 est positif. Donc x^2 - 4x + 5 > 0 pour tout x R.
2. Étape 2 : **b)** On pose u(x) = x^2 - 4x + 5, u'(x) = 2x - 4.
3. Étape 3 : f'(x) = 2x - 4{2x^2 - 4x + 5} = x - 2{x^2 - 4x + 5}.

   f'(x) = x-2{x^2-4x+5}

4. Étape 4 : **c)** Le dénominateur est toujours > 0. Le signe de f'(x) est celui de x - 2.
5. Étape 5 : f'(x) < 0 si x < 2 : f décroissante sur ]- ; 2]. f'(x) > 0 si x > 2 : f croissante sur [2 ; +[. Minimum en x = 2 : f(2) = 1 = 1.