Dérivée d'une composée et variations

Énoncé

Soit f(x) = x^2 - 4x + 5. a) Vérifier que x^2 - 4x + 5 > 0 pour tout x R. b) Calculer f'(x). c) Étudier les variations de f.

Indice : Montre que le discriminant de x^2 - 4x + 5 est négatif. Puis utilise (u)' = u'/(2u).

Correction

1. Étape 1 : Trois questions dans l'ordre logique : d'abord justifier que la fonction existe, ensuite dériver, enfin étudier les variations. 👉 La question a) n'est pas un préliminaire décoratif : sans elle, la racine pourrait ne pas être définie, et tout ce qui suit s'écroulerait. C'est aussi elle qui donnera le signe du dénominateur de f' à la question c) — donc elle sert deux fois. Signe d'un trinôme sans racine : Si < 0, le trinôme n'a pas de racine : il garde donc le signe de a sur tout R.
2. Étape 2 : a) Pour x^2 - 4x + 5 : = (-4)^2 - 4 1 5 = 16 - 20 = -4 < 0 Le trinôme n'a donc aucune racine réelle, et comme son coefficient dominant a = 1 est positif, il est strictement positif pour tout x. 👉 Contrôle indépendant, par la forme canonique : x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1 1 > 0 ✓ — et cette écriture donne en prime le minimum, qui vaut 1 en x = 2.

   x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1 > 0

3. Étape 3 : b) On pose u(x) = x^2 - 4x + 5, donc u'(x) = 2x - 4. f'(x) = u'{2u} = 2x-4{2x^2-4x+5} On simplifie par 2 : [formule]

   f'(x) = x-2{x^2-4x+5}

4. Étape 4 : c) Le dénominateur est strictement positif — c'est exactement ce qu'établit la question a). Le signe de f' est donc celui du numérateur x - 2 : f'(x) < 0 pour x < 2 : f est décroissante sur ]-\,;2] f'(x) > 0 pour x > 2 : f est croissante sur [2\,;+[ Le minimum est atteint en x = 2 et vaut f(2) = 4 - 8 + 5 = 1 = 1. 👉 Cohérent avec la forme canonique : u a son minimum 1 en x = 2, et la fonction racine étant croissante, elle conserve la position du minimum. Contrôle gratuit.

   f = f(2) = 1

5. Étape 5 : L'erreur classique : Étudier le signe de f' sans avoir établi celui du dénominateur. Une fraction change de signe quand l'un ou l'autre de ses termes change de signe. Ici le dénominateur est constant en signe, donc seul le numérateur compte — mais c'est un résultat, pas une évidence, et il vient de la question a). À retenir : < 0 le trinôme garde le signe de a partout. 👉 Et la forme canonique donne à la fois la positivité et le minimum, sans dériver. C'est un contrôle indépendant du calcul de f' — donc un vrai contrôle.