Point d'inflexion

Énoncé

Soit f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2. a) Calculer f''(x). b) Résoudre f''(x) = 0. c) Déterminer les éventuels points d'inflexion.

Indice : Un point d'inflexion correspond à un changement de signe de f''.

Correction

1. Étape 1 : **a)** f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x. f''(x) = 12x^2 - 24x + 12 = 12(x^2 - 2x + 1) = 12(x - 1)^2.
2. Étape 2 : **b)** f''(x) = 0 (x-1)^2 = 0 x = 1.
3. Étape 3 : **c)** f''(x) = 12(x-1)^2 0 pour tout x. f'' ne change **pas** de signe en x = 1.
4. Étape 4 : Conclusion : il n'y a **pas de point d'inflexion**. La fonction est convexe sur R.