Point d'inflexion

Énoncé

Soit f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2. a) Calculer f''(x). b) Résoudre f''(x) = 0. c) Déterminer les éventuels points d'inflexion.

Indice : Un point d'inflexion correspond à un changement de signe de f''.

Correction

  1. Étape 1 : Cet exercice est le contre-exemple du précédent : f'' va s'annuler, et pourtant il n'y aura aucun point d'inflexion. Le cas à connaître : S'annuler ne suffit pas — il faut changer de signe. Une racine double (facteur au carré) ne produit jamais de changement de signe. 👉 C'est le piège classique du chapitre, et il tombe régulièrement au bac précisément parce qu'on conclut trop vite. Le réflexe : après avoir résolu f''(x) = 0, toujours faire le tableau de signes — jamais conclure directement.
  2. Étape 2 : a) On dérive deux fois puis on factorise : f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x f''(x) = 12x^2 - 24x + 12 = 12(x^2 - 2x + 1) = 12(x-1)^2 👉 La factorisation est ici décisive : x^2 - 2x + 1 est une identité remarquable, (x-1)^2. Sans la reconnaître, on ne verrait pas le carré. b) f''(x) = 0 (x-1)^2 = 0 x = 1 — une racine double.

    f''(x) = 12(x-1)^2

  3. Étape 3 : c) f''(x) = 12(x-1)^2 est un carré multiplié par 12 : elle est donc positive ou nulle pour tout x. | x | - | | 1 | | + | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | f''(x) | | + | 0 | + | | Elle s'annule en 1 sans changer de signe. [formule] 👉 Concrètement, la courbe s'aplatit en x = 1 — sa tangente y est horizontale au second ordre — mais elle ne change jamais de courbure.

    aucun point d\'inflexion ; f convexe sur R

  4. Étape 4 : L'erreur classique : Conclure « f'' s'annule en 1, donc il y a un point d'inflexion ». C'est faux, et c'est tout l'objet de cet exercice. Le repère infaillible : un carré ne change jamais de signe. Dès que f'' se factorise avec un facteur au carré, ce facteur ne produit aucun changement. L'exemple le plus simple : x x^4, dont f'' = 12x^2 s'annule en 0 sans que la courbe cesse d'être convexe. À retenir : S'annuler ne suffit pas : il faut changer de signe. 👉 Après avoir résolu f''(x) = 0, faire le tableau de signes avant de conclure — c'est la seule étape qui distingue ce cas du précédent.