Convexité d'une fonction polynôme

Énoncé

Soit f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1. a) Calculer f''(x). b) Déterminer les intervalles de convexité et de concavité de f.

Indice : Calcule f''(x) puis étudie son signe.

Correction

1. Étape 1 : **a)** f'(x) = 3x^2 - 12x + 9. Donc f''(x) = 6x - 12.
2. Étape 2 : **b)** f''(x) = 0 6x - 12 = 0 x = 2.
3. Étape 3 : Pour x < 2 : f''(x) < 0 donc f est **concave** sur ]- ; 2].
4. Étape 4 : Pour x > 2 : f''(x) > 0 donc f est **convexe** sur [2 ; +[.