Convexité d'une fonction polynôme

Énoncé

Soit f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1. a) Calculer f''(x). b) Déterminer les intervalles de convexité et de concavité de f.

Indice : Calcule f''(x) puis étudie son signe.

Correction

1. Étape 1 : La convexité se lit sur la dérivée seconde, exactement comme les variations se lisent sur la dérivée première. Le parallèle est complet, et c'est ce qui rend le chapitre facile une fois compris. Convexité et dérivée seconde : f'' > 0 sur un intervalle f est convexe (courbe « en creux », tournée vers le haut) ; f'' < 0 f est concave (courbe « en bosse ») ; f'' change de signe en a le point d'abscisse a est un point d'inflexion. 👉 Le moyen mnémotechnique : conVEXE comme un VErre qui contient de l'eau. La courbe est au-dessus de ses tangentes.
2. Étape 2 : a) On dérive deux fois : f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 f''(x) = 6x - 12 ⚠️ La dérivée seconde est simplement la dérivée de la dérivée : aucune formule nouvelle, seulement une application de plus.

   f''(x) = 6x - 12

3. Étape 3 : b) f'' est une fonction affine, dont le signe se lit sans calcul : f''(x) = 0 6x = 12 x = 2 Le coefficient 6 est positif, donc f'' est négative avant 2 et positive après : | x | - | | 2 | | + | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | f''(x) | | - | 0 | + | | | f | | concave | | convexe | | [formule]

   concave sur ]-\,;2] \;;\; convexe sur [2\,;+[

4. Étape 4 : 👉 Et il y a un point d'inflexion en x = 2, puisque f'' y change de signe. La question ne le demande pas, mais c'est la conclusion naturelle du tableau — et elle tombe souvent en question supplémentaire. Le point est (2\,;\,f(2)) avec f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3. ℹ️ Un polynôme de degré 3 a toujours exactement un point d'inflexion : sa dérivée seconde est affine, donc elle change de signe une fois et une seule.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Confondre convexité et variations, en lisant f'' comme si c'était f'. f''> 0 ne veut pas dire « f croissante » mais « f convexe ». Ici f est concave avant 2 tout en pouvant y être croissante ou décroissante — ce sont deux informations indépendantes, portées par deux dérivées différentes. À retenir : f' donne les variations, f'' donne la convexité. Deux tableaux distincts, à ne pas mélanger. 👉 Et le repère visuel : conVEXE comme un VErre — la courbe retient l'eau, elle est au-dessus de ses tangentes.