Dérivée d'un inverse composé

Énoncé

Calculer la dérivée de h(x) = 1{x^2 + 3}.

Indice : Utilise (1/u)' = -u'/u^2.

Correction

1. Étape 1 : Troisième formule de composée, avec un signe moins qui la distingue des deux autres. Dérivée d'un inverse composé : [formule] 👉 Le signe « moins » se comprend : quand u augmente, son inverse diminue. La dérivée de l'inverse est donc de signe opposé à celle de u. ⚠️ Et le carré au dénominateur a une conséquence pratique : u^2 > 0 toujours, donc le signe de la dérivée est exactement l'opposé de celui de u'. C'est ce qui rend l'étude des variations immédiate.
2. Étape 2 : On pose u(x) = x^2 + 3, donc u'(x) = 2x. u ne s'annule jamais (x^2 + 3 3), donc h est définie et dérivable sur R. [formule]

   h'(x) = -2x{(x^2+3)^2}

3. Étape 3 : 👉 Le signe se lit sans effort. Le dénominateur (x^2+3)^2 est un carré, donc strictement positif. Le signe de h' est donc celui de -2x, c'est-à-dire l'opposé de celui de x. h est croissante sur ]-\,;0] puis décroissante sur [0\,;+[, avec un maximum en 0 valant h(0) = 1{3}. C'est exactement l'inverse du comportement de u(x) = x^2+3, qui a un minimum en 0 — conforme à ce que dit le signe moins de la formule.
4. Étape 4 : L'erreur classique : Oublier le signe moins, et trouver des variations inversées. Le contrôle de bon sens l'attrape : u(x) = x^2+3 a un minimum en 0, donc son inverse y a un maximum. Une dérivée qui donnerait un minimum à h contredirait cette évidence. À retenir : [formule] 👉 Et la conséquence pratique : u^2 > 0 toujours, donc le signe de (1{u})' est l'opposé de celui de u'. Les variations de 1{u} sont l'inverse de celles de u, sur chaque intervalle où u garde un signe constant.