Dérivée d'une racine composée

Énoncé

Calculer la dérivée de g(x) = 4x^2 + 1.

Indice : Utilise (u)' = u'{2u}.

Correction

1. Étape 1 : Même principe que pour la puissance composée, avec une formule différente — et une condition d'existence à ne pas oublier. Dérivée d'une racine composée : [formule] 👉 Noter la condition : u > 0 strictement, et non u 0. La fonction racine n'est pas dérivable en 0 — sa tangente y est verticale. ⚠️ Ici u(x) = 4x^2 + 1 1 > 0 pour tout x : la condition est remplie partout, et il vaut la peine de le remarquer.
2. Étape 2 : On pose u(x) = 4x^2 + 1, donc u'(x) = 8x. u est strictement positive sur R (somme d'un carré et de 1), donc g est dérivable partout. g'(x) = u'{2u} = 8x{24x^2+1} On simplifie par 2 : [formule]

   g'(x) = 4x{4x^2+1}

3. Étape 3 : 👉 Une lecture utile du résultat : le dénominateur 4x^2+1 est toujours strictement positif, donc le signe de g' est celui de 4x, c'est-à-dire celui de x. g est donc décroissante sur ]-\,;0] et croissante sur [0\,;+[, avec un minimum en 0 valant g(0) = 1 = 1. C'est le réflexe à prendre : une dérivée en quotient dont le dénominateur ne change pas de signe se lit immédiatement.
4. Étape 4 : L'erreur classique : Écrire (u)' = 1{2u}, en oubliant u' au numérateur. C'est la formule de (x)', valable seulement quand u(x) = x — donc quand u' = 1. Dès que u est autre chose, le facteur apparaît. À retenir : [formule] 👉 Et vérifier la condition d'existence : la racine se dérive là où son contenu est strictement positif. En un point où u s'annule, la fonction peut exister sans être dérivable.