Dérivée d'une puissance composée

Énoncé

Calculer la dérivée de f(x) = (2x + 3)^4.

Indice : Utilise la formule (u^n)' = n u' u^{n-1} avec u(x) = 2x + 3.

Correction

1. Étape 1 : Dériver une composée, c'est appliquer une formule où le facteur u' apparaît toujours devant. C'est lui qu'on oublie. Dérivée d'une puissance composée : [formule] 👉 La méthode qui supprime l'erreur : écrire u et u' à part, sur deux lignes, avant de dériver. Deux lignes de plus, et le facteur ne se perd plus. ⚠️ Contrôle de cohérence : la dérivée d'une puissance n est de degré n-1 en u. Si l'exposant n'a pas baissé d'exactement 1, c'est faux.
2. Étape 2 : On pose u(x) = 2x+3, donc u'(x) = 2. La formule avec n = 4 : f'(x) = 4 u'(x) u(x)^{3} = 4 2 (2x+3)^3 [formule] 👉 Le facteur 8 vient du produit 4 2 : l'exposant et la dérivée intérieure. Oublier le 2 donnerait 4(2x+3)^3, soit la moitié.

   f'(x) = 8(2x+3)^3

3. Étape 3 : Contre-épreuve. On peut vérifier sur un cas où le développement est possible. Prenons n = 2 : (2x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 9, dont la dérivée est 8x + 12. Par la formule : 2 2 (2x+3) = 4(2x+3) = 8x + 12 ✓ Les deux méthodes concordent, ce qui confirme le rôle du facteur u'.
4. Étape 4 : L'erreur classique : Oublier le facteur u' et écrire f'(x) = 4(2x+3)^3. C'est la faute la plus fréquente de tout le chapitre, et elle passe inaperçue parce que le résultat ressemble au bon. Le remède est mécanique : écrire u et u' à part avant de dériver. À retenir : [formule] 👉 Et le contrôle : l'exposant doit avoir baissé de 1 exactement, et le facteur u' doit apparaître. Deux vérifications d'un coup d'œil.