Croissances comparées et compositions

Énoncé

Calculer les limites suivantes : a) _{x +} (x - e^x) b) _{x +} ( x)^2{x} c) _{x 0^+} x^2 (x^3)

Indice : a) Factorise par e^x. b) Pose u = (x) ou utilise ( x)^2 = (x) (x). c) Utilise (x^3) = 3(x).

Correction

1. Étape 1 : Trois limites où la croissance comparée n'est pas apparente : il faut d'abord faire apparaître l'une des trois formes de référence. Les trois transformations utiles : factoriser par le terme dominant — celui qui gagne dans la hiérarchie ; écrire comme un produit de deux quantités dont on connaît la limite ; utiliser (x^k) = k(x) pour ramener à la forme de base. ⚠️ Et le choix du terme dominant est décisif : factoriser par le mauvais recrée une indétermination au lieu de la lever. Le bon est toujours celui qui l'emporte dans x x^n e^x.
2. Étape 2 : a) x - e^x est une forme - . On factorise par e^x, qui est le terme dominant : x - e^x = e^x(x{e^x} - 1) Par croissances comparées, x{e^x} 0, donc la parenthèse tend vers 0 - 1 = -1. Et e^x +, d'où par produit : [formule] ⚠️ Factoriser par x au lieu de e^x donnerait x(1 - e^x{x}), où e^x{x} + : on retomberait sur une forme mal signée. Toujours factoriser par le plus fort.

   _{x +} (x - e^x) = -

3. Étape 3 : b) ( x)^2{x} est une forme {}. L'astuce est de reconnaître un carré : ( x)^2{x} = ( x)^2{(x)^2} = ( x{x})^2 Or x{x} = x{x^{1/2}} 0 par croissances comparées — la puissance x^{1/2} écrase le logarithme, même avec un exposant inférieur à 1. Donc le carré tend vers 0^2 = 0 : [formule]

   _{x +} ( x)^2{x} = 0

4. Étape 4 : c) x^2 (x^3) quand x 0^+ est une forme 0 (-). On commence par simplifier le logarithme : x^2 (x^3) = x^2 3(x) = 3x^2(x) Puis on fait apparaître la limite de référence x x 0 : 3x^2(x) = 3x (x x)_{ \, 0} Comme 3x 0 également, le produit tend vers 0 : [formule]

   _{x 0^+} x^2 (x^3) = 0

5. Étape 5 : L'erreur classique : Factoriser par le mauvais terme en a). Factoriser par x recrée une indétermination : x(1 - e^x{x}) donne + (-), qu'il faut lever à nouveau. On tourne en rond. Le bon terme est toujours celui qui l'emporte dans la hiérarchie x x^n e^x — c'est lui qui impose la limite, les autres devenant négligeables devant lui. À retenir : Trois gestes pour faire apparaître une croissance comparée : factoriser par le dominant, écrire comme un produit de limites connues, utiliser (x^k) = k x. 👉 Et citer explicitement « par croissances comparées » dans la copie : c'est le théorème invoqué, et sans lui l'étape n'est pas justifiée.