Croissances comparées et compositions

Énoncé

Calculer les limites suivantes : a) _{x +} (x - e^x) b) _{x +} ( x)^2{x} c) _{x 0^+} x^2 (x^3)

Indice : a) Factorise par e^x. b) Pose u = (x) ou utilise ( x)^2 = (x) (x). c) Utilise (x^3) = 3(x).

Correction

1. Étape 1 : **a)** x - e^x = e^x(x{e^x} - 1). Par croissances comparées, _{x +} x{e^x} = 0.

   _{x +} (x - e^x) = -

2. Étape 2 : La parenthèse 0 - 1 = -1 et e^x +, donc (x - e^x) = -.
3. Étape 3 : **b)** ( x)^2{x} = (x){x} (x){x}. Or _{x +} (x){x} = 0.

   _{x +} ( x)^2{x} = 0

4. Étape 4 : Par produit de deux quantités tendant vers 0 : _{x +} ( x)^2{x} = 0.
5. Étape 5 : **c)** x^2 (x^3) = 3x^2 (x). Or _{x 0^+} x (x) = 0, donc x^2 (x) = x (x(x)) 0 0 = 0.

   _{x 0^+} x^2 (x^3) = 0