Étude complète : limites, asymptotes, continuité

Énoncé

Soit f(x) = x^2 + x + 1{x - 1} définie sur R \{1\}. a) Déterminer les limites en et montrer que f admet une asymptote oblique. b) Déterminer l'asymptote verticale et les limites en 1^+ et 1^-. c) La courbe traverse-t-elle l'asymptote oblique ? (Résoudre f(x) = x + 2.)

Indice : Effectue la division euclidienne de x^2 + x + 1 par x - 1. Pour la partie c), étudie le signe de f(x) - (x + 2).

Correction

1. Étape 1 : Trois questions qui suivent la logique complète d'une asymptote oblique : la trouver, trouver l'asymptote verticale, puis déterminer la position de la courbe par rapport à l'oblique. Tout découle de la division euclidienne : [formule] 👉 Et la question c) devient alors gratuite : f(x) - (ax+b) est le reste. Son signe donne la position de la courbe, son annulation donne les points d'intersection. ⚠️ Ici le reste est une constante non nulle sur (x-1) : il ne s'annulera donc jamais, et il faut savoir interpréter cette absence de solution.
2. Étape 2 : a) La division euclidienne de x^2+x+1 par x-1 : x^2 + x + 1 = (x-1)(x+2) + 3 Contrôle : (x-1)(x+2) = x^2 + x - 2, et -2 + 3 = 1 ✓ D'où, pour x 1 : f(x) = x + 2 + 3{x-1} Comme _{x } 3{x-1} = 0, la droite y = x+2 est asymptote oblique en + et en -.

   f(x) = x + 2 + 3{x-1} ; y = x+2 (oblique)

3. Étape 3 : b) L'asymptote verticale. Le dénominateur s'annule en x = 1, et le numérateur y vaut 1 + 1 + 1 = 3 0 : il y a donc bien une asymptote verticale x = 1. Les limites se lisent sur la forme obtenue, puisque x + 2 3 : en 1^+ : 3{x-1} +, donc _{x 1^+} f(x) = + en 1^- : 3{x-1} -, donc _{x 1^-} f(x) = -

   x = 1 (verticale) ; _{1^} f =

4. Étape 4 : c) La position par rapport à l'asymptote. L'écart est exactement le reste : [formule] Cette expression ne s'annule jamais : un quotient est nul si et seulement si son numérateur l'est, or le numérateur vaut 3. [formule] Et le signe donne la position : pour x > 1 : 3{x-1} > 0, la courbe est au-dessus de l'asymptote ; pour x < 1 : 3{x-1} < 0, la courbe est en dessous.

   f(x) - (x+2) = 3{x-1} 0

5. Étape 5 : L'erreur classique : Résoudre f(x) = x+2 en développant, aboutir à « 3 = 0 », et croire à une erreur de calcul. Ce n'est pas une erreur : c'est une équation sans solution, et cela répond exactement à la question — la courbe ne coupe jamais son asymptote. Il faut savoir lire une absurdité comme une absence de solution, pas comme une faute. À retenir : f(x) - asymptote = le reste de la division. 👉 Son annulation donne les points d'intersection, son signe donne la position. Une seule division euclidienne répond donc aux trois questions. ⚠️ Et retenir qu'une courbe peut traverser son asymptote oblique — ce n'est simplement pas le cas ici, parce que le reste est constant.