Étude complète : limites, asymptotes, continuité

Énoncé

Soit f(x) = x^2 + x + 1{x - 1} définie sur R \{1\}. a) Déterminer les limites en et montrer que f admet une asymptote oblique. b) Déterminer l'asymptote verticale et les limites en 1^+ et 1^-. c) La courbe traverse-t-elle l'asymptote oblique ? (Résoudre f(x) = x + 2.)

Indice : Effectue la division euclidienne de x^2 + x + 1 par x - 1. Pour la partie c), étudie le signe de f(x) - (x + 2).

Correction

1. Étape 1 : **a)** Division euclidienne : x^2 + x + 1 = (x - 1)(x + 2) + 3, donc f(x) = x + 2 + 3{x - 1}.
2. Étape 2 : _{x } 3{x-1} = 0, donc y = x + 2 est asymptote oblique.

   y = x + 2 (asymptote oblique)

3. Étape 3 : **b)** En x = 1 : numérateur = 1 + 1 + 1 = 3 0, dénominateur 0. Donc x = 1 est asymptote verticale.
4. Étape 4 : _{x 1^+} f(x) = + (car 3{x-1} > 0) et _{x 1^-} f(x) = - (car 3{x-1} < 0).
5. Étape 5 : **c)** f(x) - (x+2) = 3{x-1}. Cette expression ne s'annule jamais.
6. Étape 6 : La courbe ne traverse **jamais** l'asymptote oblique. Elle est au-dessus pour x > 1 et en dessous pour x < 1.