Prolongement par continuité

Énoncé

Soit f(x) = x^2 - 2x{x^2 - 4} définie pour x -2 et x 2. a) La fonction f peut-elle être prolongée par continuité en x = 2 ? Si oui, donner la valeur du prolongement. b) Même question en x = -2.

Indice : Factorise le numérateur et le dénominateur. La simplification est possible si le facteur commun s'annule.

Correction

1. Étape 1 : Un prolongement par continuité est possible exactement quand la limite existe et est finie au point où la fonction n'est pas définie. C'est ce qui distingue les deux questions de cet exercice. Prolongement par continuité : Si f n'est pas définie en a mais que _{x a} f(x) = finie, on peut poser f(a) = : la fonction ainsi complétée est continue en a. Si la limite est infinie, aucun prolongement n'est possible — il y a une asymptote verticale. 👉 Le test est donc toujours le même : calculer la limite. Et le réflexe préalable : factoriser, car c'est la simplification qui révèle si la singularité est « fausse ».
2. Étape 2 : La factorisation, commune aux deux questions : x^2 - 2x = x(x-2) et x^2 - 4 = (x-2)(x+2) Donc, pour x 2 et x -2 : [formule] 👉 Le facteur (x-2) disparaît : c'était une singularité « artificielle ». Le facteur (x+2), lui, reste au dénominateur.

   f(x) = x{x+2} pour x 2

3. Étape 3 : a) En x = 2. L'expression simplifiée n'a plus de problème en 2 : _{x 2} x{x+2} = 2{4} = 1{2} La limite est finie, donc le prolongement est possible : [formule] La fonction f ainsi définie est continue en 2.

   f(2) = 1{2}

4. Étape 4 : b) En x = -2. Ici le facteur (x+2) est resté au dénominateur, et le numérateur x tend vers -2 0. en -2^+ : x + 2 > 0 et le numérateur est négatif = - en -2^- : x + 2 < 0 et le numérateur est négatif = + La limite est infinie — et même différente des deux côtés. Aucun prolongement n'est possible : x = -2 est une asymptote verticale. 👉 La différence entre les deux points tient en une phrase : en 2, le facteur apparaissait au numérateur et au dénominateur ; en -2, seulement au dénominateur.

   pas de prolongement en -2 : asymptote verticale

5. Étape 5 : L'erreur classique : Croire qu'on peut prolonger partout où la fonction n'est pas définie. Ce n'est pas l'absence de définition qui décide, c'est la nature de la limite. Une fonction non définie en a a soit une limite finie (on prolonge), soit une limite infinie (asymptote), soit pas de limite du tout. À retenir : Factoriser d'abord. Si le facteur qui annulait le dénominateur disparaît prolongement possible. S'il reste asymptote verticale. 👉 Et le vocabulaire : on note f la fonction prolongée, pas f — ce sont deux fonctions différentes, l'une définie en a et l'autre non.