Prolongement par continuité

Énoncé

Soit f(x) = x^2 - 2x{x^2 - 4} définie pour x -2 et x 2. a) La fonction f peut-elle être prolongée par continuité en x = 2 ? Si oui, donner la valeur du prolongement. b) Même question en x = -2.

Indice : Factorise le numérateur et le dénominateur. La simplification est possible si le facteur commun s'annule.

Correction

1. Étape 1 : Factorisons : x^2 - 2x = x(x - 2) et x^2 - 4 = (x-2)(x+2).
2. Étape 2 : **a)** Pour x 2 : f(x) = x(x-2){(x-2)(x+2)} = x{x+2}.
3. Étape 3 : _{x 2} x{x+2} = 2{4} = 1{2}. On peut prolonger par continuité en posant f(2) = 1{2}.

   f(2) = 1{2}

4. Étape 4 : **b)** En x = -2 : x{x+2} = -2{0}. Le numérateur ne s'annule pas, donc la limite est infinie.
5. Étape 5 : _{x -2^+} x{x+2} = - et _{x -2^-} x{x+2} = +. On ne peut **pas** prolonger par continuité en x = -2.