TVI et dichotomie : encadrement d'une solution

Énoncé

Soit f(x) = e^x - 3x définie sur R. a) Montrer que f(x) = 0 admet une solution dans [1 ; 2]. b) Par dichotomie, donner un encadrement de d'amplitude 0{,}25.

Indice : Calcule f(1) et f(2), applique le TVI, puis effectue deux étapes de dichotomie.

Correction

1. Étape 1 : L'exercice enchaîne les deux faces du TVI : d'abord prouver qu'une solution existe, ensuite la localiser. La dichotomie : On coupe l'intervalle en deux, on calcule f au milieu, et l'on garde la moitié aux bornes de laquelle f change encore de signe. À chaque étape, l'amplitude est divisée par deux. 👉 D'où le nombre d'étapes nécessaires, qu'on peut prévoir : partant de [1\,;2] d'amplitude 1, on obtient 0,5 puis 0,25. Deux étapes suffisent pour l'amplitude demandée — inutile d'en faire davantage.
2. Étape 2 : a) f(x) = e^x - 3x est continue sur R, comme somme de fonctions continues. f(1) = e - 3 2{,}72 - 3 = -0{,}28 < 0 f(2) = e^2 - 6 7{,}39 - 6 = 1{,}39 > 0 Les deux valeurs sont de signes contraires, donc par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe \,]1\,;2[ tel que f() = 0.

   f(1) < 0 < f(2) \,]1\,;2[,\ f() = 0

3. Étape 3 : b) Étape 1. Le milieu de [1\,;2] est m_1 = 1{,}5 : f(1{,}5) = e^{1{,}5} - 4{,}5 4{,}48 - 4{,}5 = -0{,}02 < 0 f(1{,}5) et f(2) sont de signes contraires, donc [1{,}5\,;2] — amplitude 0,5. Étape 2. Le milieu de [1{,}5\,;2] est m_2 = 1{,}75 : f(1{,}75) = e^{1{,}75} - 5{,}25 5{,}75 - 5{,}25 = 0{,}50 > 0 Cette fois c'est f(1{,}5) et f(1{,}75) qui sont de signes contraires : [formule]

   1{,}5 < < 1{,}75

4. Étape 4 : 👉 Une lecture fine des valeurs. f(1{,}5) -0{,}02 est très proche de 0, alors que f(1{,}75) 0{,}50 en est loin. Cela indique que est tout près de 1,5 — bien plus près que du milieu de l'intervalle trouvé. Une étape de plus le confirmerait. ℹ️ La dichotomie ne tient aucun compte de cette information : elle coupe toujours au milieu, quelle que soit la valeur de f. C'est ce qui la rend simple et sûre, mais moins rapide que d'autres méthodes.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Garder la mauvaise moitié. Le critère n'est pas « la moitié qui contient le milieu » — les deux le contiennent — mais celle aux bornes de laquelle f change de signe. À l'étape 1, f(1{,}5) < 0 et f(2) > 0 : c'est donc [1{,}5\,;2] qu'on garde, pas [1\,;1{,}5] où f est négative aux deux bornes. À retenir : L'amplitude est divisée par 2 à chaque étape. Partant d'une amplitude 1, il faut n étapes pour atteindre 1{2^n}. 👉 Prévoir ce nombre avant de commencer évite d'en faire trop — ou trop peu.