TVI et dichotomie : encadrement d'une solution

Énoncé

Soit f(x) = e^x - 3x définie sur R. a) Montrer que f(x) = 0 admet une solution dans [1 ; 2]. b) Par dichotomie, donner un encadrement de d'amplitude 0{,}25.

Indice : Calcule f(1) et f(2), applique le TVI, puis effectue deux étapes de dichotomie.

Correction

  1. Étape 1 : **a)** f est continue sur R (somme de fonctions continues). f(1) = e - 3 -0{,}28 < 0 et f(2) = e^2 - 6 1{,}39 > 0.
  2. Étape 2 : f(1) f(2) < 0 : par le TVI, il existe ]1 ; 2[ tel que f() = 0.
  3. Étape 3 : **b)** **Étape 1 :** m_1 = 1{,}5. f(1{,}5) = e^{1,5} - 4{,}5 4{,}48 - 4{,}5 = -0{,}02 < 0. La solution est dans [1{,}5 ; 2].
  4. Étape 4 : **Étape 2 :** m_2 = 1{,}75. f(1{,}75) = e^{1,75} - 5{,}25 5{,}75 - 5{,}25 = 0{,}50 > 0. La solution est dans [1{,}5 ; 1{,}75].
  5. Étape 5 : On a l'encadrement : 1{,}5 < < 1{,}75, d'amplitude 0{,}25.

    1{,}5 < < 1{,}75