Lever une FI avec expression conjuguée

Énoncé

Calculer _{x +} (x^2 + x + 1 - x).

Indice : Multiplie et divise par l'expression conjuguée x^2 + x + 1 + x.

Correction

1. Étape 1 : Même technique que l'exercice précédent — la quantité conjuguée — mais le numérateur obtenu est cette fois un polynôme de degré 1 au lieu d'un simple monôme. La factorisation demande donc un peu plus d'attention. La marche à suivre, inchangée : 1. multiplier par le conjugué, en haut et en bas ; 2. simplifier le numérateur, où les x^2 disparaissent ; 3. factoriser par x — en justifiant que x > 0 ; 4. passer à la limite. 👉 Et le résultat est prévisible : x^2 + bx + c - x b{2}. Ici b = 1, donc on attend 1{2} — ce qui donne un contrôle avant même de calculer.
2. Étape 2 : Le conjugué. On multiplie en haut et en bas par x^2+x+1 + x : x^2+x+1 - x = (x^2+x+1) - x^2{x^2+x+1 + x} = x+1{x^2+x+1 + x} Les x^2 se sont annulés, et il reste un numérateur de degré 1.

   x+1{x^2+x+1 + x}

3. Étape 3 : La factorisation par x. Comme x +, on a x > 0, donc x^2 = x : x^2+x+1 = x1 + {1{x} + 1{x^2}} On divise alors le numérateur et le dénominateur par x : x+1{x^2+x+1+x} = 1 + {1{x}}{1 + {1{x} + 1{x^2}} + 1}

   1 + {1{x}}{1 + {1{x} + 1{x^2}} + 1}

4. Étape 4 : La limite. Toutes les fractions tendent vers 0 : [formule] 👉 Contrôle par le résultat général : b = 1 ici, et b{2} = 1{2} ✓ Comparaison avec l'exercice précédent, où b = 3 donnait 3{2} : la constante c sous la racine (ici +1, là 0) n'a aucune influence sur la limite. Seul le coefficient de x compte.

   _{x +} (x^2+x+1 - x) = 1{2}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Diviser par x sans préciser x > 0, ce qui invalide l'égalité {x^2+x+1}{x} = 1 + {1{x} + 1{x^2}}. Cette égalité repose sur x^2 = x, qui suppose x positif. En -, il faudrait -, et la limite serait tout autre. À retenir : Conjugué, simplification, factorisation par x avec justification du signe, limite. 👉 Et le résultat de référence, qui contrôle tout : x^2 + bx + c - x b{2} en +, quel que soit c.