Croissances comparées simples

Énoncé

Calculer les limites suivantes : a) _{x +} (x){x^2} b) _{x +} e^x{x^4} c) _{x 0^+} x (x)

Indice : Utilise directement les théorèmes de croissances comparées.

Correction

1. Étape 1 : Les croissances comparées répondent à une question que les théorèmes généraux ne savent pas trancher : entre , les puissances de x et e^x, lequel l'emporte ? La hiérarchie, une fois pour toutes : [formule] [formule] 👉 En une phrase : l'exponentielle écrase toute puissance, et toute puissance écrase le logarithme. C'est cette hiérarchie qui lève les indéterminations {} et 0 de ce chapitre. ⚠️ Et elle vaut quel que soit n, même très grand : e^x finit par dépasser x^{100}.
2. Étape 2 : a) x{x^2} : c'est la forme x{x^n} avec n = 2 > 0. Le logarithme est écrasé par la puissance : [formule] ℹ️ Sans les croissances comparées, cette limite serait une forme indéterminée {} : les deux termes tendent vers +.

   _{x +} x{x^2} = 0

3. Étape 3 : b) e^x{x^4} : c'est la forme e^x{x^n} avec n = 4. L'exponentielle écrase la puissance, même à l'exposant 4 : [formule] 👉 C'est contre-intuitif quand on essaie de petites valeurs : en x = 5, e^5 148 contre 5^4 = 625 — la puissance mène encore. Il faut attendre x 8{,}6 pour que l'exponentielle passe devant, et ensuite l'écart explose.

   _{x +} e^x{x^4} = +

4. Étape 4 : c) x (x) quand x 0^+ : c'est une forme indéterminée 0 (-), puisque x -. C'est exactement la troisième limite de référence : [formule] 👉 Elle dit que x « gagne » contre x même en 0 : la puissance l'emporte encore, alors même que le logarithme part vers -.

   _{x 0^+} x (x) = 0

5. Étape 5 : L'erreur classique : Appliquer le théorème du quotient des limites sur une forme {}, et conclure « +{+} = 1 ». Ce théorème ne s'applique pas aux formes indéterminées — c'est précisément leur définition. Il faut une croissance comparée, ou une factorisation. À retenir : [formule] Trois limites de référence à connaître par cœur, et à citer par leur nom dans une copie : « par croissances comparées ». 👉 Et savoir les reconnaître sous forme déguisée : ( x)^2{x}, x - e^x, x^2(x^3) s'y ramènent tous — c'est l'objet du dernier exercice du chapitre.