Asymptotes obliques d'une fonction rationnelle

Énoncé

Soit f(x) = x^2 + 3x - 2{x - 1} définie sur R \{1\}. a) Déterminer l'asymptote oblique de f en . b) Déterminer l'asymptote verticale.

Indice : Effectue la division euclidienne de x^2 + 3x - 2 par x - 1.

Correction

1. Étape 1 : Quand le degré du numérateur dépasse de un celui du dénominateur, la courbe s'approche d'une droite oblique plutôt que d'une horizontale. Trouver une asymptote oblique : Effectuer la division euclidienne du numérateur par le dénominateur pour écrire [formule] 👉 La droite y = ax + b est alors asymptote, puisque l'écart entre la courbe et elle — le reste — tend vers 0. ⚠️ Le réflexe qui indique quoi chercher : comparer les degrés. Égaux asymptote horizontale ; numérateur de un de plus oblique ; davantage ni l'une ni l'autre.
2. Étape 2 : a) La division euclidienne de x^2 + 3x - 2 par x - 1 : x^2 + 3x - 2 = (x-1)(x+4) + 2 Contrôle en développant : (x-1)(x+4) = x^2 + 3x - 4, et -4 + 2 = -2 ✓ On peut donc écrire, pour x 1 : [formule]

   f(x) = x + 4 + 2{x-1}

3. Étape 3 : Comme _{x } 2{x-1} = 0, l'écart entre f(x) et la droite y = x+4 tend vers 0 : [formule] 👉 Et la forme obtenue donne en prime la position de la courbe par rapport à l'asymptote : f(x) - (x+4) = 2{x-1}, qui est positif si x > 1 et négatif si x < 1. La courbe est donc au-dessus à droite, en dessous à gauche.

   y = x + 4 (asymptote oblique)

4. Étape 4 : b) L'asymptote verticale. Le dénominateur s'annule en x = 1. Il faut vérifier que le numérateur ne s'y annule pas : 1^2 + 3 1 - 2 = 2 0 ✓ Le quotient tend donc vers l'infini quand x 1 : [formule] ⚠️ Cette vérification n'est pas facultative : si le numérateur s'annulait aussi, on aurait une forme 0{0} et pas d'asymptote — c'est le cas du prolongement par continuité, traité plus loin dans le chapitre.

   x = 1 (asymptote verticale)

5. Étape 5 : L'erreur classique : Conclure à une asymptote verticale dès que le dénominateur s'annule, sans regarder le numérateur. Si les deux s'annulent, on est en forme indéterminée 0{0} : la limite peut être finie, et il n'y a alors aucune asymptote. Le contrôle coûte une substitution. À retenir : Comparer les degrés pour savoir quoi chercher, puis division euclidienne pour l'oblique. 👉 Et la forme f(x) = ax + b + r{} donne gratuitement la position de la courbe par rapport à son asymptote — une question qui tombe souvent juste après.