Étude complète : limites, asymptotes et continuité

Énoncé

Soit f(x) = x^2 - 1{x^2 - 4} définie sur R \{-2 ; 2\}. a) Déterminer les limites en . b) Déterminer les limites en 2 et en -2. c) En déduire toutes les asymptotes. d) On prolonge f en posant g(x) = f(x) si x 2. La fonction g peut-elle être prolongée par continuité en x = 0 ? Justifier.

Indice : Factorise x^2 - 1 = (x-1)(x+1) et x^2 - 4 = (x-2)(x+2). Pour les limites en 2, étudie les signes.

Correction

1. Étape 1 : Une étude complète enchaîne tout le chapitre. Le seul point délicat est le comportement près des deux valeurs interdites : il faut chaque fois étudier le signe du dénominateur des deux côtés. Le réflexe qui organise le travail : Factoriser le dénominateur — ici x^2 - 4 = (x-2)(x+2) — puis dresser son tableau de signes. Les quatre limites se lisent alors dessus. ⚠️ Et la question d) est une question-piège : elle demande un prolongement en un point où la fonction est déjà définie. Vérifier qu'un point est bien une valeur interdite avant de parler de prolongement fait partie de la réponse.
2. Étape 2 : a) Les limites en l'infini. On factorise par x^2 en haut et en bas : f(x) = x^2(1 - {1{x^2})}{x^2(1 - 4{x^2})} = 1 - {1{x^2}}{1 - 4{x^2}} [x ]{} 1{1} = 1 [formule]

   _{x } f(x) = 1

3. Étape 3 : b) Près de 2. Le numérateur tend vers 4 - 1 = 3 > 0 et ne change pas de signe. Tout dépend du dénominateur (x-2)(x+2) : en 2^+ : (x-2) > 0 et (x+2) > 0, donc le dénominateur est positif = + en 2^- : (x-2) < 0 et (x+2) > 0, donc le dénominateur est négatif = - Près de -2. Le numérateur tend vers 4 - 1 = 3 > 0 également. en -2^+ : (x+2) > 0 et (x-2) < 0 dénominateur négatif = - en -2^- : (x+2) < 0 et (x-2) < 0 dénominateur positif = +

   _{2^} = ; _{-2^} =

4. Étape 4 : c) Les asymptotes, lues directement sur les limites : asymptote horizontale y = 1, en + et en - ; asymptotes verticales x = 2 et x = -2. 👉 Noter la symétrie des comportements : en -2 la courbe part vers + à gauche et - à droite ; en 2, c'est l'inverse. Cela vient de ce que f est paire — f(-x) = f(x), puisque seuls des x^2 interviennent.

   y = 1 \;;\; x = 2 \;;\; x = -2

5. Étape 5 : d) Avant de chercher un prolongement, il faut vérifier que la fonction n'est pas définie au point demandé. Or ici : f(0) = 0 - 1{0 - 4} = -1{-4} = 1{4} Le dénominateur ne s'annule pas en 0, donc f y est définie, et même continue (quotient de polynômes dont le dénominateur ne s'annule pas). [formule]

   g(0) = 1{4} — déjà définie et continue

6. Étape 6 : L'erreur classique : Se lancer dans un calcul de limite en 0 sans vérifier que la fonction y est déjà définie. « Prolonger par continuité » n'a de sens qu'en un point où la fonction n'est pas définie. En 0, il n'y a rien à prolonger — et c'est précisément ce que la question teste. À retenir : Factoriser le dénominateur et dresser son tableau de signes : les limites de part et d'autre de chaque valeur interdite s'y lisent d'un coup. 👉 Et vérifier qu'un point est bien une valeur interdite avant de parler de prolongement. Les valeurs interdites d'une fraction rationnelle sont exactement les racines du dénominateur — ici 2, et rien d'autre.