Étude complète : limites, asymptotes et continuité

Énoncé

Soit f(x) = x^2 - 1{x^2 - 4} définie sur R \{-2 ; 2\}. a) Déterminer les limites en . b) Déterminer les limites en 2 et en -2. c) En déduire toutes les asymptotes. d) On prolonge f en posant g(x) = f(x) si x 2. La fonction g peut-elle être prolongée par continuité en x = 0 ? Justifier.

Indice : Factorise x^2 - 1 = (x-1)(x+1) et x^2 - 4 = (x-2)(x+2). Pour les limites en 2, étudie les signes.

Correction

1. Étape 1 : **a)** f(x) = x^2(1 - {1{x^2})}{x^2(1 - 4{x^2})} 1{1} = 1 quand x .

   _{x } f(x) = 1

2. Étape 2 : **b)** En x = 2 : numérateur 3 > 0, dénominateur 0.
3. Étape 3 : x^2 - 4 = (x-2)(x+2). En 2^+ : (x-2) > 0 et (x+2) > 0 donc dénominateur > 0 : _{x 2^+} f(x) = +. En 2^- : (x-2) < 0 donc _{x 2^-} f(x) = -.
4. Étape 4 : En x = -2 : numérateur 3 > 0. (x+2) 0 et (x-2) -4 < 0. En -2^+ : (x+2) > 0 donc dénominateur < 0 : = -. En -2^- : (x+2) < 0 donc dénominateur > 0 : = +.
5. Étape 5 : **c)** Asymptote horizontale : y = 1. Asymptotes verticales : x = 2 et x = -2.
6. Étape 6 : **d)** f(0) = 0 - 1{0 - 4} = -1{-4} = 1{4}. f est déjà définie et continue en 0 (quotient de polynômes, dénominateur non nul). Aucun prolongement n'est nécessaire : g est continue en 0 avec g(0) = 1{4}.