TVI : existence d'une solution

Énoncé

Soit f(x) = x^3 - 2x + 1. a) Montrer que l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans [-2 ; 0]. b) Justifier que cette solution est unique.

Indice : Calcule f(-2) et f(0) puis applique le TVI. Pour l'unicité, étudie les variations.

Correction

1. Étape 1 : **a)** f est une fonction polynôme, donc continue sur R, en particulier sur [-2 ; 0].
2. Étape 2 : f(-2) = (-2)^3 - 2(-2) + 1 = -8 + 4 + 1 = -3 < 0 et f(0) = 0 - 0 + 1 = 1 > 0.
3. Étape 3 : f(-2) f(0) = -3 < 0 : par le TVI, il existe c ]-2 ; 0[ tel que f(c) = 0.
4. Étape 4 : **b)** f'(x) = 3x^2 - 2. Sur [-2 ; 0] : f'(x) = 0 x = -{2{3}} -0{,}82.
5. Étape 5 : Sur [-2 ; -2/3], f'(x) > 0 donc f est croissante. Sur [-2/3 ; 0], f'(x) < 0 donc f est décroissante.
6. Étape 6 : f(-{2{3}}) 1 + 4{6}{9} 2{,}09 > 0. Comme f passe de -3 à 2{,}09 (croissante) puis de 2{,}09 à 1 (décroissante), f ne s'annule qu'une fois, dans la phase croissante. La solution est unique.