TVI : existence d'une solution

Énoncé

Soit f(x) = x^3 - 2x + 1. a) Montrer que l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans [-2 ; 0]. b) Justifier que cette solution est unique.

Indice : Calcule f(-2) et f(0) puis applique le TVI. Pour l'unicité, étudie les variations.

Correction

1. Étape 1 : Deux questions, deux théorèmes différents — et c'est là que l'exercice piège : l'existence vient du TVI, l'unicité de la stricte monotonie. TVI et son corollaire : TVI : si f est continue sur [a\,;b] et si f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors f s'annule au moins une fois sur ]a\,;b[. Corollaire : si de plus f est strictement monotone, la solution est unique. 👉 Ici f n'est pas monotone sur [-2\,;0] tout entier : il faudra donc découper l'intervalle aux racines de f', et raisonner morceau par morceau.
2. Étape 2 : a) L'existence. f est une fonction polynôme, donc continue sur R, en particulier sur [-2\,;0]. f(-2) = (-2)^3 - 2 (-2) + 1 = -8 + 4 + 1 = -3 < 0 f(0) = 0 - 0 + 1 = 1 > 0 Les deux valeurs sont de signes contraires, donc par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe c \,]-2\,;0[ tel que f(c) = 0.

   f(-2) = -3 < 0 < 1 = f(0) c, f(c) = 0

3. Étape 3 : b) L'unicité. On étudie les variations, en dérivant : f'(x) = 3x^2 - 2, qui s'annule pour x^2 = 2{3}, soit x = {2{3}} 0{,}82. Sur [-2\,;0], seule la racine négative est présente. On découpe : sur [-2\,;-{2{3}}] : x^2 > 2{3} donc f'(x) > 0 — f est strictement croissante ; sur [-{2{3}}\,;0] : x^2 < 2{3} donc f'(x) < 0 — f est strictement décroissante.
4. Étape 4 : On applique le corollaire sur chaque morceau. f(-{2{3}}) 2{,}09 (valeur calculée). Premier morceau : f va de -3 à 2{,}09, en croissant strictement. Les signes sont contraires, donc il y a exactement une solution. Second morceau : f va de 2{,}09 à 1, en décroissant strictement. Les deux valeurs sont strictement positives, donc f ne s'annule pas sur ce morceau. [formule]

   solution unique dans ]-2\,;-{2{3}}[

5. Étape 5 : L'erreur classique : Invoquer le TVI pour justifier l'unicité. Le TVI donne l'existence et rien d'autre : une fonction continue changeant de signe peut parfaitement s'annuler trois fois. C'est la stricte monotonie qui donne l'unicité, et elle exige d'étudier f'. Second piège : oublier de traiter le second morceau. Ne montrer l'unicité que sur la partie croissante ne prouve rien sur ce qui se passe après. À retenir : Existence TVI. Unicité stricte monotonie. Les deux se citent séparément. 👉 Méthode sur un intervalle où f n'est pas monotone : découper aux racines de f', puis examiner chaque morceau. Sur un morceau où les valeurs aux bornes ont le même signe, il n'y a aucune solution — et c'est aussi une conclusion.