Théorème des gendarmes

Énoncé

Soit f(x) = x(x){x^2 + 1}. Démontrer que _{x +} f(x) = 0.

Indice : Encadre (x) entre -1 et 1, puis applique le théorème des gendarmes.

Correction

1. Étape 1 : Pour tout x R : -1 (x) 1.
2. Étape 2 : Pour x > 0 : -x{x^2+1} x(x){x^2+1} x{x^2+1}.
3. Étape 3 : Or x{x^2+1} = 1{x + 1{x}}. Quand x + : x + 1{x} +, donc x{x^2+1} 0.
4. Étape 4 : De même -x{x^2+1} 0. Par le théorème des gendarmes : _{x +} f(x) = 0.

   _{x +} x(x){x^2+1} = 0