Théorème des gendarmes

Énoncé

Soit f(x) = x(x){x^2 + 1}. Démontrer que _{x +} f(x) = 0.

Indice : Encadre (x) entre -1 et 1, puis applique le théorème des gendarmes.

Correction

1. Étape 1 : Le théorème des gendarmes sert quand une fonction oscille — ici à cause du cosinus — et qu'aucun calcul direct n'est possible. On l'encadre alors entre deux fonctions qui, elles, ont la même limite. Théorème des gendarmes : Si u(x) f(x) v(x) au voisinage de +, et si u et v ont la même limite , alors f tend vers . 👉 Le point de départ est toujours le même avec un cosinus ou un sinus : [formule] ⚠️ Et l'encadrement ne peut être multiplié que par une quantité positive, sans quoi le sens s'inverse. Il faudra donc justifier que x{x^2+1} > 0.
2. Étape 2 : L'encadrement de départ, valable pour tout x : -1 (x) 1 On multiplie par x{x^2+1}, qui est strictement positif pour x > 0 (numérateur et dénominateur positifs) — le sens de l'encadrement est donc conservé : [formule]

   -x{x^2+1} f(x) x{x^2+1}

3. Étape 3 : La limite des deux gendarmes. On factorise le membre de droite par x : x{x^2+1} = x{x(x + 1{x})} = 1{x + 1{x}} Quand x +, le dénominateur x + 1{x} +, donc _{x +} x{x^2+1} = 0 Et par symétrie, _{x +} -x{x^2+1} = 0 également.

   _{x +} x{x^2+1} = 0

4. Étape 4 : Conclusion. Les deux gendarmes tendent vers la même limite 0, donc par le théorème des gendarmes : [formule] 👉 Ce qui se comprend : le cosinus reste borné entre -1 et 1 pendant que x{x^2+1} s'écrase vers 0. Une quantité bornée multipliée par une quantité qui tend vers 0 tend vers 0 — c'est la lecture rapide de tout ce raisonnement.

   _{x +} f(x) = 0

5. Étape 5 : L'erreur classique : Multiplier l'encadrement par une quantité sans avoir vérifié son signe. Si x{x^2+1} était négatif, l'encadrement s'inverserait et les deux gendarmes changeraient de place. Préciser « pour x > 0 » n'est donc pas une formalité, c'est ce qui rend l'étape valide. Second piège : croire que (x) existe en +. Elle n'existe pas — le cosinus oscille indéfiniment. C'est précisément pourquoi il faut les gendarmes. À retenir : -1 1 est le point de départ · multiplier par une quantité positive · vérifier que les deux bornes ont la même limite. 👉 Et la lecture rapide, à connaître : borné tend vers 0 tend vers 0.