Forme indéterminée avec racine carrée

Énoncé

Calculer _{x +} (x^2 + 3x - x).

Indice : Multiplie et divise par l'expression conjuguée x^2 + 3x + x.

Correction

1. Étape 1 : Une différence + - contenant une racine se lève toujours par la quantité conjuguée : elle transforme la différence en quotient, et la racine disparaît du numérateur. La quantité conjuguée : [formule] 👉 Le gain est double : le numérateur devient un polynôme, et l'indétermination - se transforme en {} — qu'on sait lever par factorisation. ⚠️ Et un point de vigilance qui décide de tout : x^2 = |x|, donc = x seulement si x 0. Il faudra le préciser.
2. Étape 2 : On multiplie par le conjugué, en haut et en bas : x^2+3x - x = ({x^2+3x - x)(x^2+3x + x)}{x^2+3x + x} Le numérateur se simplifie remarquablement : = (x^2+3x) - x^2{x^2+3x + x} = 3x{x^2+3x + x} L'indétermination est devenue {}.

   3x{x^2+3x + x}

3. Étape 3 : On factorise par x. Comme x +, on a x > 0, donc x^2 = x : x^2 + 3x = x^2(1 + {3{x})} = x1 + {3{x}} ⚠️ C'est ici que le signe compte : cette égalité serait fausse en -, où il faudrait écrire -x. 3x{x1+{3{x}} + x} = 3x{x(1+{3{x}} + 1)} = 3{1+{3{x}} + 1}

   3{1+{3{x}} + 1}

4. Étape 4 : On passe à la limite. 3{x} 0, donc la racine tend vers 1 = 1 : [formule] 👉 Un résultat général qui sert de contrôle : pour tout b, [formule] Ici b = 3, donc 3{2} ✓ — vérification immédiate, sans refaire le calcul.

   _{x +} (x^2+3x - x) = 3{2}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Sortir x de x^2 sans se demander son signe. x^2 = |x| : c'est x si x 0, et -x si x < 0. En + tout va bien, mais la même limite en - demanderait l'autre écriture — et donnerait un résultat complètement différent. Second piège : penser que x^2 + 3x x « donc la différence vaut 0 ». L'approximation est trop grossière : c'est précisément la correction d'ordre 1 qui donne la limite 3{2}. À retenir : - avec une racine quantité conjuguée, puis factorisation. 👉 Et le contrôle gratuit : x^2+bx+c - x b{2} en +.