Lever une forme indéterminée 0/0
Énoncé
Calculer _{x 2} x^2 - 5x + 6{x^2 - 4}.
Indice : On obtient 0{0}. Factorise les deux expressions.
Correction
- Étape 1 : Une forme indéterminée 0{0} en un point signale toujours la même chose : le numérateur et le dénominateur ont une racine commune, donc un facteur commun. Il suffit de le faire apparaître.
Lever une FI 0/0 en x = a :
1. constater l'indétermination en remplaçant ;
2. factoriser par (x-a) le numérateur et le dénominateur ;
3. simplifier — en précisant « pour x a » ;
4. passer à la limite sur l'expression simplifiée.
👉 L'étape 3 doit être écrite avec sa condition : c'est elle qui rend la simplification légitime, puisqu'on ne divise jamais par zéro. Et c'est aussi ce qui explique qu'une limite finie existe là où la fonction n'est pas définie.
- Étape 2 : On constate l'indétermination. En x = 2 :
numérateur : 4 - 10 + 6 = 0 · dénominateur : 4 - 4 = 0
C'est bien une forme 0{0} — il faut donc lever l'indétermination.
On factorise. Le 2 étant racine des deux, (x-2) est facteur commun :
x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) — somme 5, produit 6, donc racines 2 et 3
x^2 - 4 = (x-2)(x+2) — différence de carrés
(x-2)(x-3){(x-2)(x+2)}
- Étape 3 : On simplifie, en précisant la condition :
pour x 2, (x-2)(x-3){(x-2)(x+2)} = x-3{x+2}
On passe à la limite sur cette expression, qui n'est plus indéterminée :
[formule]
👉 La fonction n'est pas définie en 2, et pourtant elle a une limite finie en ce point. C'est exactement la situation du prolongement par continuité, traité plus loin dans le chapitre.
_{x 2} x^2-5x+6{x^2-4} = -1{4}
- Étape 4 : L'erreur classique :
Conclure « la limite n'existe pas » devant une forme 0{0}.
Une indétermination n'est pas une absence de limite : c'est seulement que les théorèmes généraux ne suffisent pas à la calculer. Ici la limite existe et vaut -1{4}.
Second piège : simplifier sans écrire « pour x 2 ». La simplification par (x-2) n'est licite que sous cette condition, et l'omettre est une faute de rigueur.
À retenir :
0{0} en a le facteur (x-a) est commun aux deux. Le trouver, simplifier, conclure.
👉 Et pour factoriser vite un trinôme dont on connaît une racine a : la seconde racine vaut c{a} (produit des racines), ou S - a (somme). Ici 2 3 = 6 ✓