Limites et asymptotes d'une fonction

Énoncé

Soit f(x) = x + 3{x - 1} définie sur R \{1\}. a) Calculer _{x +} f(x) et _{x -} f(x). b) Calculer _{x 1^+} f(x) et _{x 1^-} f(x). c) En déduire les asymptotes.

Indice : Pour les limites en , factorise par x. Pour les limites en 1, étudie le signe de x - 1.

Correction

1. Étape 1 : Trois questions qui font le tour d'une fonction homographique : le comportement au loin, le comportement près de la valeur interdite, et la traduction en asymptotes. Les deux types d'asymptote ici : _{x } f(x) = asymptote horizontale y = ; _{x a} f(x) = asymptote verticale x = a. 👉 Pour la question b), le point décisif est le signe du dénominateur de part et d'autre de 1 : c'est lui qui décide entre + et -. Le numérateur, lui, tend vers 4 > 0 et ne change pas de signe.
2. Étape 2 : a) On factorise par x en haut et en bas : f(x) = x(1 + {3{x})}{x(1 - 1{x})} = 1 + {3{x}}{1 - 1{x}} [x ]{} 1{1} = 1 [formule] La droite y = 1 est donc asymptote horizontale en + et en -.

   _{x } f(x) = 1

3. Étape 3 : b) Quand x 1, le numérateur tend vers 1 + 3 = 4, qui est strictement positif et ne change pas de signe. Tout dépend donc du dénominateur x - 1, qui tend vers 0 : en 1^+ (c'est-à-dire x > 1) : x - 1 > 0, donc le quotient est positif et de plus en plus grand : _{x 1^+} f(x) = + en 1^- (x < 1) : x - 1 < 0, donc le quotient est négatif : _{x 1^-} f(x) = -

   _{x 1^+} f(x) = + ; _{x 1^-} f(x) = -

4. Étape 4 : c) On traduit les quatre limites en asymptotes : asymptote horizontale y = 1, en + et en - ; asymptote verticale x = 1. 👉 Noter que les limites à gauche et à droite de 1 sont opposées : la courbe part vers le bas à gauche de la droite x = 1, et vers le haut à droite. C'est le comportement typique d'un dénominateur qui change de signe.

   y = 1 (horizontale) ; x = 1 (verticale)

5. Étape 5 : L'erreur classique : Annoncer « _{x 1} f(x) = » sans distinguer la gauche de la droite. Ici les deux limites sont opposées : la limite en 1 n'existe donc pas, seules existent les limites à gauche et à droite. Écrire une limite « en 1 » sans exposant est faux, et fait perdre le point de la question b) tout entière. À retenir : Près d'une valeur interdite, le signe du dénominateur décide — étudier séparément à gauche et à droite. 👉 Et la traduction : limite finie en l'infini asymptote horizontale ; limite infinie en un point asymptote verticale.