Limite d'une fraction rationnelle

Énoncé

Calculer _{x +} 4x^2 - 3x + 1{2x^2 + x - 5}.

Indice : Factorise le numérateur et le dénominateur par x^2.

Correction

1. Étape 1 : Une fraction rationnelle en donne une forme indéterminée {}. La méthode qui la lève est la même que pour un polynôme, appliquée en haut et en bas séparément. Limite d'une fraction rationnelle en l'infini : Factoriser le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré, simplifier, puis passer à la limite. 👉 Le résultat se devine d'avance, ce qui donne un contrôle : la limite est celle du quotient des termes de plus haut degré. Ici 4x^2{2x^2} = 2. ⚠️ Mais deviner ne dispense pas de rédiger : c'est la factorisation qui prouve, pas le résultat.
2. Étape 2 : La factorisation, en haut et en bas : 4x^2 - 3x + 1{2x^2 + x - 5} = x^2(4 - {3{x} + 1{x^2})}{x^2(2 + 1{x} - 5{x^2})} Les x^2 se simplifient — ils sont non nuls puisque x + : = 4 - {3{x} + 1{x^2}}{2 + 1{x} - 5{x^2}}

   4 - {3{x} + 1{x^2}}{2 + 1{x} - 5{x^2}}

3. Étape 3 : Le passage à la limite. Toutes les fractions en 1{x} et 1{x^2} tendent vers 0 : numérateur 4, dénominateur 2 Le dénominateur ne tend pas vers 0, donc le quotient des limites est licite : [formule]

   _{x +} f(x) = 2

4. Étape 4 : L'erreur classique : Écrire directement 4{2} = 2 sans aucune justification. Le résultat est juste, mais c'est la factorisation qui est notée : sans elle, on n'a pas montré qu'on savait lever l'indétermination. Deux lignes suffisent, et elles valent des points. Second piège : simplifier par x^2 avant d'avoir factorisé, en « barrant » les x^2 du numérateur et du dénominateur d'origine. On ne simplifie que des facteurs, jamais des termes d'une somme. À retenir : Factoriser en haut et en bas par le terme de plus haut degré, simplifier, passer à la limite. 👉 Et le contrôle rapide : la limite vaut le quotient des termes de plus haut degré. Même degré le rapport des coefficients ; degré du haut plus grand ; degré du bas plus grand 0.