Limite d'un polynôme en l'infini

Énoncé

Déterminer _{x +} f(x) et _{x -} f(x) pour f(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3.

Indice : Le terme de plus haut degré impose le comportement en .

Correction

1. Étape 1 : Une limite de polynôme en l'infini se traite toujours de la même façon, et le résultat est connu d'avance. Limite d'un polynôme en l'infini : En , un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré. 👉 La raison se voit en factorisant par ce terme : tous les autres deviennent des 1{x^k} qui tendent vers 0. C'est ce que fait la rédaction ci-dessous, et il faut savoir la produire — le résultat seul ne suffit pas au bac. ⚠️ Et le signe demande de l'attention en - : un exposant impair conserve le signe négatif, un exposant pair le supprime.
2. Étape 2 : La factorisation. On met x^3, le terme de plus haut degré, en facteur : f(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3 = x^3(-2 + 5{x} - 3{x^3}) Contrôle : en redistribuant, x^3 (-2) = -2x^3, x^3 5{x} = 5x^2, x^3 (-3{x^3}) = -3 ✓

   f(x) = x^3(-2 + 5{x} - 3{x^3})

3. Étape 3 : En +. Les deux fractions tendent vers 0, donc la parenthèse tend vers -2 : x^3 + et la parenthèse -2, d'où par produit [formule]

   _{x +} f(x) = -

4. Étape 4 : En -. Les fractions tendent encore vers 0, mais x^3 - cette fois — car l'exposant 3 est impair et conserve donc le signe. (-) (-2) = + [formule] 👉 Contrôle par le bon sens : f est un polynôme de degré impair à coefficient dominant négatif. Sa courbe part donc de + à gauche et descend vers - à droite — exactement ce qu'on vient de trouver.

   _{x -} f(x) = +

5. Étape 5 : L'erreur classique : Se tromper de signe en - en oubliant la parité de l'exposant. (-)^3 = - (exposant impair) mais (-)^2 = + (exposant pair). Ici, traiter x^3 comme s'il était pair donnerait - au lieu de + — soit l'inverse. À retenir : Un polynôme a en la limite de son terme de plus haut degré — mais il faut écrire la factorisation, c'est elle qui est notée. 👉 Et le contrôle graphique : degré pair les deux branches partent du même côté ; degré impair elles partent de côtés opposés.