Traduire en symboles et calculer

Énoncé

La variable aléatoire X a la loi suivante : | xᵢ | -2 | 0 | 1 | 3 | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | P(X = xᵢ) | 0,1 | 0,4 | 0,3 | 0,2 | a) Traduire par une inégalité, puis calculer la probabilité de l'événement « X prend une valeur au plus égale à 1 ». b) Calculer P(X > 0) et P(-2 < X ≤ 1). c) Traduire en français l'événement {X ≥ 0}, et calculer sa probabilité. d) Calculer P(X ≤ 2). Pourquoi est-elle égale à P(X ≤ 1) ?

Indice : Pour chaque événement, repère dans le tableau les valeurs de X qui le réalisent, puis additionne leurs probabilités.

Correction

1. Étape 1 : Un événement comme {X ≤ 1} n'est pas un nombre : c'est l'ensemble des issues pour lesquelles X prend une valeur inférieure ou égale à 1. Pour calculer sa probabilité, il n'y a qu'une méthode, et elle est toujours la même. Calculer P(X ≤ a), P(X > a)… : 1. Repérer dans le tableau les valeurs xᵢ qui vérifient l'inégalité. 2. Additionner leurs probabilités. 3. Si c'est plus court, passer par l'événement contraire. Le vocabulaire : « au plus a » : X ≤ a ; « au moins a » : X ≥ a ; « plus de a » : X > a ; « moins de a » : X < a.
2. Étape 2 : a) « au plus égale à 1 » se traduit par X ≤ 1. Les valeurs du tableau qui vérifient xᵢ ≤ 1 sont -2, 0 et 1 : P(X ≤ 1) = P(X = -2) + P(X = 0) + P(X = 1) = 0,1 + 0,4 + 0,3 = 0,8

   P(X ≤ 1) = 0,8

3. Étape 3 : b) X > 0 : les valeurs strictement positives, 1 et 3 (la valeur 0 est exclue) : P(X > 0) = 0,3 + 0,2 = 0,5 -2 < X ≤ 1 : la valeur -2 est exclue (inégalité stricte), la valeur 1 est incluse (inégalité large). Restent 0 et 1 : P(-2 < X ≤ 1) = 0,4 + 0,3 = 0,7

   P(X > 0) = 0,5 ; P(-2 < X ≤ 1) = 0,7

4. Étape 4 : c) {X ≥ 0} se lit « X prend une valeur positive ou nulle », ou encore « X vaut au moins 0 ». Le plus court est de passer par le contraire, {X < 0}, qui ne contient que la valeur -2 : P(X ≥ 0) = 1 - P(X = -2) = 1 - 0,1 = 0,9 Vérification directe : 0,4 + 0,3 + 0,2 = 0,9 ✓

   P(X ≥ 0) = 0,9

5. Étape 5 : d) Les valeurs de X inférieures ou égales à 2 sont -2, 0 et 1 — exactement les mêmes que pour X ≤ 1, puisque X ne prend aucune valeur entre 1 et 2. Donc P(X ≤ 2) = 0,1 + 0,4 + 0,3 = 0,8 = P(X ≤ 1) Les événements {X ≤ 2} et {X ≤ 1} sont formés des mêmes issues : ce sont le même événement.

   P(X ≤ 2) = P(X ≤ 1) = 0,8

6. Étape 6 : L'erreur classique : Confondre ≤ et < : P(X < 1) = 0,1 + 0,4 = 0,5, alors que P(X ≤ 1) = 0,8. Une inégalité large inclut la valeur frontière, une inégalité stricte l'exclut — et l'écart vaut exactement P(X = 1) = 0,3. À retenir : Un événement {X ≤ a} se calcule en additionnant les probabilités des valeurs du tableau qui vérifient l'inégalité. Le nombre a n'a pas besoin d'être une valeur de X.