Simuler pour approcher une espérance
Énoncé
On lance un dé équilibré, et l'on note X le résultat obtenu.
a) Calculer μ = E(X) et V(X). En déduire que σ(X) ≈ 1,708.
On considère le programme suivant.
```python
from random import randint
from math import sqrt
def moyenne_echantillon(n):
s = 0
for i in range(n):
s = s + randint(1, 6)
return s / n
def proportion(N, n, mu, sigma):
compteur = 0
for j in range(N):
m = moyenne_echantillon(n)
if abs(m - mu) <= 2 * sigma / sqrt(n):
compteur = compteur + 1
return compteur / N
```
b) Que renvoie `moyenne_echantillon(100)` ? Deux appels successifs ont renvoyé `3.6`, puis `3.32` : pourquoi deux résultats différents ?
c) Que calcule `proportion(1000, 100, 3.5, sqrt(35 / 12))` ? Calculer la valeur de 2σ/(√(n)) utilisée pour n = 100.
d) Une exécution a renvoyé `0.962` pour n = 100, et une autre `0.957` pour n = 25. Interpréter ces résultats. Que gagne-t-on à passer de n = 25 à n = 100 ?
Indice : Pour a), E(X²) = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)/6. Pour c), lis la condition du `if` : elle compare l'écart entre la moyenne et μ à 2σ/(√(n)).
Correction
- Étape 1 : Deux mondes se rencontrent dans cet exercice : le calcul (la loi donne μ et σ exactement) et la simulation (des échantillons dont la moyenne change à chaque fois). La question est de savoir à quelle distance de μ tombe la moyenne d'un échantillon.
Ce que dit le programme de Première :
On simule N échantillons de taille n, et l'on calcule la proportion de ceux dont la moyenne m vérifie |m - μ| ≤ 2σ/(√(n)). On observe qu'elle est proche de 95 %.
👉 Ce n'est pas un théorème à appliquer, mais une observation à interpréter. La Terminale démontrera une garantie plus faible (au moins 75 % des moyennes à moins de 2σ/(√(n)), par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev) ; les 95 % observés s'expliquent au-delà du lycée.
- Étape 2 : a) X prend les valeurs 1 à 6, chacune avec la probabilité 1/6 :
μ = E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 21/6 = 3,5
E(X²) = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)/6 = 91/6
Par König-Huygens : V(X) = 91/6 - 3,5² = 91/6 - 49/4 = (182 - 147)/12 = 35/12 ≈ 2,917
σ(X) = √(35/12) ≈ 1,708
μ = 3,5 ; V(X) = 35/12 ; σ(X) ≈ 1,708
- Étape 3 : b) « moyenne_echantillon(100) » simule 100 lancers de dé (« randint(1, 6) » renvoie un entier au hasard entre 1 et 6), additionne les résultats dans « s », puis divise par 100 : elle renvoie la moyenne d'un échantillon de taille 100.
Chaque appel tire de nouveaux nombres au hasard : l'échantillon change, donc sa moyenne aussi. Les deux valeurs 3,6 et 3,32 sont proches de μ = 3,5 sans lui être égales — c'est exactement ce qu'on attend d'un échantillon.
- Étape 4 : c) « proportion » simule N = 1000 échantillons de taille n = 100. Pour chacun, elle teste si la moyenne m est à une distance de μ au plus égale à 2σ/(√(n)), et compte les échantillons qui passent ce test. Elle renvoie la proportion d'échantillons dont la moyenne est « proche » de μ.
Pour n = 100 :
2σ/(√(100)) ≈ (2 × 1,708)/10 ≈ 0,342
Le test revient donc à 3,5 - 0,342 ≤ m ≤ 3,5 + 0,342, soit m entre 3,158 et 3,842 environ.
2σ/(√(100)) ≈ 0,342
- Étape 5 : d) Dans les deux cas, environ 96 % des échantillons ont une moyenne à moins de 2σ/(√(n)) de l'espérance : c'est la proportion « proche de 95 % » que le programme invite à observer.
Mais l'intervalle n'a pas la même largeur :
- pour n = 25 : 2σ/(√(25)) ≈ 0,683, la moyenne est presque toujours entre 2,82 et 4,18 ;
- pour n = 100 : 2σ/(√(100)) ≈ 0,342, elle est presque toujours entre 3,16 et 3,84.
En prenant un échantillon quatre fois plus grand, on obtient une moyenne deux fois plus précise : c'est le √(n) du dénominateur.
- Étape 6 : L'erreur classique :
Croire qu'une moyenne d'échantillon doit tomber exactement sur l'espérance, et conclure de m = 3,32 que le dé est truqué. Pour n = 100, une moyenne de 3,32 est à 0,18 de 3,5, bien moins que 0,342 : c'est un écart parfaitement ordinaire.
À retenir :
La moyenne d'un échantillon varie d'un échantillon à l'autre. On observe qu'environ 95 % des moyennes sont à moins de 2σ/(√(n)) de l'espérance — et qu'il faut quadrupler la taille de l'échantillon pour diviser cet écart par deux.