Comparaison de deux stratégies

Énoncé

Un investisseur hésite entre deux placements. **Placement A :** Le gain X (en euros) a la loi suivante : | x_i | -100 | 0 | 200 | 500 | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | P(X=x_i) | 0{,}10 | 0{,}30 | 0{,}40 | 0{,}20 | **Placement B :** Le gain Y (en euros) a la loi suivante : | y_i | 50 | 100 | 150 | |:---:|:---:|:---:|:---:| | P(Y=y_i) | 0{,}25 | 0{,}50 | 0{,}25 | a) Calculer E(X) et E(Y). b) Calculer (X) et (Y). c) Quel placement conseiller à un investisseur prudent ? À un investisseur audacieux ?

Indice : Utilise V = E(X^2) - [E(X)]^2 pour chaque placement. Un investisseur prudent privilégie un faible écart type.

Correction

1. Étape 1 : **a)** E(X) = (-100)(0{,}10) + 0(0{,}30) + 200(0{,}40) + 500(0{,}20) = -10 + 0 + 80 + 100 = 170 €. E(Y) = 50(0{,}25) + 100(0{,}50) + 150(0{,}25) = 12{,}5 + 50 + 37{,}5 = 100 €.
2. Étape 2 : **b)** E(X^2) = 10000(0{,}10) + 0 + 40000(0{,}40) + 250000(0{,}20) = 1000 + 16000 + 50000 = 67\,000. V(X) = 67000 - 170^2 = 67000 - 28900 = 38\,100. (X) = 38100 195{,}2 €. E(Y^2) = 2500(0{,}25) + 10000(0{,}50) + 22500(0{,}25) = 625 + 5000 + 5625 = 11\,250. V(Y) = 11250 - 100^2 = 11250 - 10000 = 1250. (Y) = 1250 35{,}4 €.
3. Étape 3 : **c)** Récapitulatif : | | E | | |:---:|:---:|:---:| | Placement A | 170 € | 195,2 € | | Placement B | 100 € | 35,4 € | - **Investisseur prudent** → **Placement B** : gain moyen correct (100 €) avec un risque faible ( = 35{,}4 €). - **Investisseur audacieux** → **Placement A** : gain moyen supérieur (170 €) mais risque élevé ( = 195{,}2 €), avec possibilité de perdre 100 €.