Comparaison de deux stratégies

Énoncé

Un investisseur hésite entre deux placements. Placement A : Le gain X (en euros) a la loi suivante : | x_i | -100 | 0 | 200 | 500 | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | P(X=x_i) | 0{,}10 | 0{,}30 | 0{,}40 | 0{,}20 | Placement B : Le gain Y (en euros) a la loi suivante : | y_i | 50 | 100 | 150 | |:---:|:---:|:---:|:---:| | P(Y=y_i) | 0{,}25 | 0{,}50 | 0{,}25 | a) Calculer E(X) et E(Y). b) Calculer (X) et (Y). c) Quel placement conseiller à un investisseur prudent ? À un investisseur audacieux ?

Indice : Utilise V = E(X^2) - [E(X)]^2 pour chaque placement. Un investisseur prudent privilégie un faible écart type.

Correction

1. Étape 1 : L'exercice ne demande pas seulement des calculs : la question c) demande une décision, et c'est là qu'il se joue. Deux placements ne se comparent pas sur la seule espérance — sinon l'écart type ne servirait à rien et la réponse serait immédiate. Ce que dit chaque indicateur : E : ce que rapporte le placement en moyenne, sur le long terme. : de combien un résultat individuel peut s'écarter de cette moyenne — autrement dit, le risque. 👉 Un placement à forte espérance et fort écart type peut être le pire choix possible pour quelqu'un qui ne peut pas se permettre de perdre. C'est exactement la situation ici.
2. Étape 2 : a) Les deux espérances. E(X) = (-100) 0{,}10 + 0 0{,}30 + 200 0{,}40 + 500 0{,}20 E(X) = -10 + 0 + 80 + 100 = 170 € E(Y) = 50 0{,}25 + 100 0{,}50 + 150 0{,}25 = 12{,}5 + 50 + 37{,}5 = 100 € Sur la seule espérance, A l'emporte nettement : 170 € contre 100 €.

   E(X) = 170 € ; E(Y) = 100 €

3. Étape 3 : b) Les deux écarts types, par V = E(^2) - [E()]^2. Placement A : E(X^2) = 10\,000 0{,}10 + 0 + 40\,000 0{,}40 + 250\,000 0{,}20 = 1\,000 + 16\,000 + 50\,000 = 67\,000 V(X) = 67\,000 - 170^2 = 67\,000 - 28\,900 = 38\,100 donc (X) = 38\,100 195{,}2 € Placement B : E(Y^2) = 2\,500 0{,}25 + 10\,000 0{,}50 + 22\,500 0{,}25 = 625 + 5\,000 + 5\,625 = 11\,250 V(Y) = 11\,250 - 100^2 = 1\,250 donc (Y) = 1\,250 35{,}4 €

   (X) 195{,}2 € ; (Y) 35{,}4 €

4. Étape 4 : c) La décision. Le récapitulatif rend la comparaison lisible : | | E | | pire cas | |:---:|:---:|:---:|:---:| | Placement A | 170 € | 195,2 € | -100 € | | Placement B | 100 € | 35,4 € | +50 € | Investisseur prudent placement B. Son écart type est cinq fois plus petit, donc le résultat est bien plus prévisible. Et surtout : B ne peut rien faire perdre, son pire cas étant un gain de 50 €. Investisseur audacieux placement A. Son espérance est supérieure de 70 €, mais il faut accepter une perte possible de 100 € et une forte imprévisibilité. 👉 Remarquer que (X) 195 € dépasse E(X) = 170 € : la dispersion est plus grande que le gain moyen lui-même. C'est le signe d'un placement très risqué, quel que soit son rendement annoncé.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Comparer les variances pour juger du risque : 38\,100 contre 1\,250. Ce n'est pas faux, mais ces nombres ne se comparent plus aux gains — une variance s'exprime en « euros au carré », ce qui n'a aucune lecture concrète. C'est qu'il faut employer dès qu'on veut confronter le risque au gain, parce que tous deux sont alors en euros. À retenir : E dit combien, dit à quel point c'est incertain. Une décision se prend sur les deux, et il vaut la peine de regarder aussi les valeurs extrêmes : le pire cas d'un placement est souvent ce qu'un investisseur regarde en premier. Repère utile : quand dépasse E, le placement est très risqué — la variabilité y pèse plus lourd que le rendement.