Contrôle qualité (loi binomiale)

Énoncé

Une entreprise produit des composants électroniques. La probabilité qu'un composant soit défectueux est p = 0{,}03. Un lot de 50 composants est prélevé pour contrôle. Soit X le nombre de composants défectueux dans le lot. a) Justifier que X B(50 ; 0{,}03). Calculer E(X) et (X). b) Calculer la probabilité qu'aucun composant ne soit défectueux. c) Calculer la probabilité qu'au plus 2 composants soient défectueux. d) Le lot est rejeté si plus de 3 composants sont défectueux. Calculer la probabilité de rejet.

Indice : Pour c), calculer P(X 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2). Pour d), P(X > 3) = 1 - P(X 3).

Correction

1. Étape 1 : **a)** Chaque composant est défectueux indépendamment avec p = 0{,}03. X compte le nombre de défectueux parmi 50. X B(50 ; 0{,}03). E(X) = 50 0{,}03 = 1{,}5 et (X) = 50 0{,03 0{,}97} = 1{,455} 1{,}206.
2. Étape 2 : **b)** P(X=0) = (0{,}97)^{50} 0{,}2181.
3. Étape 3 : **c)** P(X=1) = 50{1}(0{,}03)^1(0{,}97)^{49} = 50 0{,}03 (0{,}97)^{49} 50 0{,}03 0{,}2248 0{,}3372. P(X=2) = 50{2}(0{,}03)^2(0{,}97)^{48} = 1225 0{,}0009 0{,}2317 0{,}2555. P(X 2) 0{,}2181 + 0{,}3372 + 0{,}2555 = 0{,}8108.
4. Étape 4 : **d)** P(X=3) = 50{3}(0{,}03)^3(0{,}97)^{47} = 19600 0{,}000027 0{,}2388 0{,}1264. P(X 3) 0{,}8108 + 0{,}1264 = 0{,}9372. P(rejet) = P(X > 3) = 1 - 0{,}9372 = 0{,}0628 6{,}3\%.
5. Étape 5 : Il y a environ **6,3%** de chance que le lot soit rejeté. C'est un risque relativement faible, cohérent avec la bonne qualité de production (p = 3\% de défauts).