Contrôle qualité (loi binomiale)

Énoncé

Une entreprise produit des composants électroniques. La probabilité qu'un composant soit défectueux est p = 0{,}03. Un lot de 50 composants est prélevé pour contrôle. Soit X le nombre de composants défectueux dans le lot. a) Justifier que X B(50 ; 0{,}03). Calculer E(X) et (X). b) Calculer la probabilité qu'aucun composant ne soit défectueux. c) Calculer la probabilité qu'au plus 2 composants soient défectueux. d) Le lot est rejeté si plus de 3 composants sont défectueux. Calculer la probabilité de rejet.

Indice : Pour c), calculer P(X 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2). Pour d), P(X > 3) = 1 - P(X 3).

Correction

1. Étape 1 : Même progression que l'exercice précédent, mais avec n = 50 : les sommes coûtent désormais très cher, et choisir le bon côté n'est plus un confort. De quel côté sommer : [formule] 👉 La question d) demande P(X > 3), c'est-à-dire P(X 4) : cela couvre 47 valeurs (de 4 à 50). De l'autre côté, P(X 3) n'en couvre que 4. Le passage par le contraire n'est donc pas une astuce ici, il est obligatoire. ⚠️ Et un point de vocabulaire à trancher avant de calculer : « plus de 3 » veut dire X 4, strictement. « Au moins 3 » voudrait dire X 3. Un mot d'écart, un résultat trois fois différent.
2. Étape 2 : a) Chaque composant est défectueux avec la probabilité p = 0{,}03, indépendamment des autres, et X compte les défectueux parmi n = 50 — l'échantillon étant petit devant la production, le prélèvement se modélise comme des tirages indépendants. [formule] E(X) = np = 50 0{,}03 = 1{,}5 (X) = np(1-p) = 50 0{,03 0{,}97} = 1{,455} 1{,}206

   E(X) = 1{,}5 ; (X) 1{,}206

3. Étape 3 : b) Aucun composant défectueux, c'est-à-dire les 50 conformes : P(X = 0) = 50{0}(0{,}03)^0(0{,}97)^{50} = (0{,}97)^{50} 0{,}2181 Un lot sur cinq environ ne contient aucun défaut. Cohérent avec E(X) = 1{,}5 : la moyenne étant faible, le cas « zéro » reste fréquent.

   P(X = 0) 0{,}2181

4. Étape 4 : c) « Au plus 2 » se somme directement — trois termes seulement : P(X = 1) = 50{1}(0{,}03)^1(0{,}97)^{49} = 50 0{,}03 0{,}2248 0{,}3372 P(X = 2) = 50{2}(0{,}03)^2(0{,}97)^{48} = 1225 0{,}0009 0{,}2318 0{,}2555 P(X 2) = 0{,}2181 + 0{,}3372 + 0{,}2555 0{,}8108 Plus de 80 % des lots contiennent au plus 2 défauts.

   P(X 2) 0{,}8108

5. Étape 5 : d) Il ne manque plus que le terme k = 3 pour obtenir P(X 3), puis l'on passe au contraire : P(X = 3) = 50{3}(0{,}03)^3(0{,}97)^{47} = 19\,600 0{,}000027 0{,}2389 0{,}1264 P(X 3) = 0{,}8108 + 0{,}1264 0{,}9372 P(rejet) = P(X > 3) = 1 - P(X 3) = 1 - 0{,}9372 = 0{,}0628 Soit environ 6,3 % de risque de rejet.

   P(rejet) 0{,}063

6. Étape 6 : Ce que ce chiffre dit à l'entreprise. Un lot parfaitement conforme à la qualité annoncée (p = 3\% de défauts) sera malgré tout rejeté environ 6 fois sur 100, par simple effet du hasard de l'échantillonnage. C'est ce qu'on appelle le *risque du producteur*. L'écart type permet de le comprendre sans refaire le calcul : le seuil de 3 se situe à 3 - 1{,5}{1{,}206} 1{,}24 écart type au-dessus de la moyenne — c'est-à-dire pas très loin. Un seuil placé à 2 écarts types (soit environ 4 défauts) rendrait les rejets bien plus rares.
7. Étape 7 : L'erreur classique : Confondre « plus de 3 » (X 4) et « au moins 3 » (X 3). Un seul mot d'écart, et le résultat change du tout au tout : P(X 3) = 1 - P(X 2) = 1 - 0{,}8108 = 0{,}1892, soit trois fois le risque de rejet réel. À retenir : Traduire l'énoncé en inégalité avant de calculer : « plus de k » X k+1 — « au moins k » X k — « au plus k » X k Puis compter les valeurs de chaque côté et sommer du côté le plus court. Sur n = 50, ce choix fait la différence entre 4 termes et 47.