Probabilité P(X≥k) avec le complémentaire

Énoncé

Un archer touche la cible avec une probabilité p = 0{,}7 à chaque tir. Il effectue 4 tirs indépendants. Soit X le nombre de tirs réussis. a) Quelle loi suit X ? b) Calculer P(X = 0). c) En déduire P(X 1). d) Calculer P(X 3).

Indice : P(X 1) = 1 - P(X = 0) et P(X 3) = P(X=3) + P(X=4).

Correction

1. Étape 1 : Les quatre questions forment un mode d'emploi complet, chacune illustrant un chemin différent. Le fil conducteur est toujours le même : choisir le calcul le plus court. Trois formes, trois chemins : « exactement k » un seul terme, la formule directe ; « au moins 1 » par le contraire, 1 - P(X = 0) : un seul terme ; « au moins k » pour k plus grand sommer de k à n, ou passer par le contraire — on compte les termes des deux côtés et l'on prend le plus court. 👉 Ici n = 4 seulement, donc toutes les sommes restent courtes. Avec n = 20, cet arbitrage deviendrait décisif — c'est l'objet de l'exercice suivant.
2. Étape 2 : a) Quatre tirs, deux issues par tir (touché ou manqué), probabilité de succès constante p = 0{,}7, et l'énoncé précise que les tirs sont indépendants. Les trois conditions sont réunies : [formule]

   X B(4\,;0{,}7)

3. Étape 3 : b) P(X = 0) = 4{0}(0{,}7)^0(0{,}3)^4 = (0{,}3)^4 = 0{,}0081 Ce calcul se lit sans la formule : X = 0 signifie que les quatre tirs sont manqués, chacun avec la probabilité 0{,}3, et les tirs étant indépendants les probabilités se multiplient : 0{,}3 0{,}3 0{,}3 0{,}3 = 0{,}0081 Retrouver ainsi le résultat est un bon contrôle du sens de la formule.

   P(X = 0) = 0{,}0081

4. Étape 4 : c) L'événement « au moins un tir réussi » est exactement le contraire de « aucun tir réussi » : P(X 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}0081 = 0{,}9919 L'archer touche la cible au moins une fois dans 99,2 % des cas. Autrement dit, tout rater sur quatre tirs n'arrive qu'une fois sur 123 environ.

   P(X 1) = 0{,}9919

5. Étape 5 : d) « Au moins 3 » sur 4 tirs ne laisse que deux cas : exactement 3, ou exactement 4. P(X = 3) = 4{3}(0{,}7)^3(0{,}3)^1 = 4 0{,}343 0{,}3 = 0{,}4116 P(X = 4) = 4{4}(0{,}7)^4(0{,}3)^0 = 0{,}2401 P(X 3) = 0{,}4116 + 0{,}2401 = 0{,}6517 👉 Contrôle de plausibilité par l'espérance : E(X) = np = 4 0{,}7 = 2{,}8. Le seuil 3 est donc juste au-dessus de la moyenne, et l'on doit s'attendre à une probabilité un peu supérieure à 1{2}. C'est bien le cas avec 0{,}65.

   P(X 3) = 0{,}6517

6. Étape 6 : L'erreur classique : Passer par le contraire par réflexe, et écrire P(X 3) = 1 - P(X = 3) ou 1 - P(X 3). Le contraire de « au moins 3 » est « au plus 2 », c'est-à-dire P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) : trois termes contre deux dans le calcul direct. Le contraire est ici plus long, donc inutile. (Il donne bien sûr le même résultat : 0{,}0081 + 0{,}0756 + 0{,}2646 = 0{,}3483, et 1 - 0{,}3483 = 0{,}6517 ✓) À retenir : Traduire d'abord en inégalité, compter les termes des deux côtés, puis calculer. Le contraire n'est un raccourci que lorsqu'il l'est vraiment. [formule] Le -1 est indispensable : c'est là que se logent la plupart des erreurs de ce chapitre.