Probabilité P(X≥k) avec le complémentaire

Énoncé

Un archer touche la cible avec une probabilité p = 0{,}7 à chaque tir. Il effectue 4 tirs indépendants. Soit X le nombre de tirs réussis. a) Quelle loi suit X ? b) Calculer P(X = 0). c) En déduire P(X 1). d) Calculer P(X 3).

Indice : P(X 1) = 1 - P(X = 0) et P(X 3) = P(X=3) + P(X=4).

Correction

1. Étape 1 : **a)** X B(4 ; 0{,}7) car on répète 4 épreuves de Bernoulli indépendantes.
2. Étape 2 : **b)** P(X=0) = 4{0}(0{,}7)^0(0{,}3)^4 = (0{,}3)^4 = 0{,}0081.
3. Étape 3 : **c)** P(X 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}0081 = 0{,}9919. L'archer touche la cible au moins une fois dans 99,2% des cas.
4. Étape 4 : **d)** P(X=3) = 4{3}(0{,}7)^3(0{,}3)^1 = 4 0{,}343 0{,}3 = 0{,}4116. P(X=4) = (0{,}7)^4 = 0{,}2401. P(X 3) = 0{,}4116 + 0{,}2401 = 0{,}6517.