Jeu de hasard : est-il équitable ?

Énoncé

Un jeu de fête foraine coûte 4 € pour jouer. On tire une boule dans une urne contenant 2 boules dorées, 3 boules argentées et 5 boules noires. - Boule dorée : on gagne 15 € - Boule argentée : on gagne 5 € - Boule noire : on ne gagne rien Soit G le gain net du joueur. a) Déterminer la loi de G. b) Calculer E(G). Le jeu est-il équitable ? c) Quelle mise rendrait le jeu équitable ?

Indice : Gain net = gain brut - mise. Il y a 10 boules au total.

Correction

1. Étape 1 : **a)** Gain net : dorée → 15 - 4 = 11 €, argentée → 5 - 4 = 1 €, noire → 0 - 4 = -4 €. | g_i | 11 | 1 | -4 | |:---:|:---:|:---:|:---:| | P(G = g_i) | 2{10} | 3{10} | 5{10} |
2. Étape 2 : **b)** E(G) = 11 2{10} + 1 3{10} + (-4) 5{10} = 2{,}2 + 0{,}3 - 2{,}0 = 0{,}5 €. E(G) = 0{,}5 > 0 : le jeu est **favorable** au joueur.
3. Étape 3 : **c)** Soit m la mise. E(G) = (15-m) 2{10} + (5-m) 3{10} + (-m) 5{10} = 0. 30 - 2m + 15 - 3m - 5m{10} = 0 45 - 10m = 0 m = 4{,}50 €.