Jeu de hasard : est-il équitable ?

Énoncé

Un jeu de fête foraine coûte 4 € pour jouer. On tire une boule dans une urne contenant 2 boules dorées, 3 boules argentées et 5 boules noires. - Boule dorée : on gagne 15 € - Boule argentée : on gagne 5 € - Boule noire : on ne gagne rien Soit G le gain net du joueur. a) Déterminer la loi de G. b) Calculer E(G). Le jeu est-il équitable ? c) Quelle mise rendrait le jeu équitable ?

Indice : Gain net = gain brut - mise. Il y a 10 boules au total.

Correction

1. Étape 1 : Deux pièges d'énoncé, à traiter avant tout calcul. Le premier : le gain demandé est le gain net, donc la mise est déjà retranchée. Tirer une boule noire ne rapporte rien, mais coûte quand même les 4 € engagés — le gain net y vaut -4 €, pas 0. Gain net : [formule] Le second : la question c) fait varier la mise. Il faudra donc la traiter comme une inconnue m et refaire le calcul de l'espérance en la gardant sous forme littérale.
2. Étape 2 : a) L'urne contient 2 + 3 + 5 = 10 boules. Les gains nets, mise de 4 € déduite : dorée : 15 - 4 = 11 € — argentée : 5 - 4 = 1 € — noire : 0 - 4 = -4 € | g_i | 11 | 1 | -4 | |:---:|:---:|:---:|:---:| | P(G = g_i) | 2{10} | 3{10} | 5{10} | Contrôle : 2 + 3 + 5{10} = 1 ✓
3. Étape 3 : b) E(G) = 11 2{10} + 1 3{10} + (-4) 5{10} E(G) = 2{,}2 + 0{,}3 - 2{,}0 = 0{,}5 € Comme E(G) = 0{,}5 > 0, le jeu est favorable au joueur : sur un grand nombre de parties, il gagne en moyenne 50 centimes par partie. 👉 Ce qui, en pratique, doit faire douter : un forain qui perdrait 50 centimes par joueur fermerait vite. C'est un exercice, pas une fête foraine réelle.

   E(G) = 0{,}5 €

4. Étape 4 : c) On reprend le même calcul en remplaçant la mise 4 par une inconnue m : E(G) = (15 - m) 2{10} + (5 - m) 3{10} + (0 - m) 5{10} On développe chaque produit : E(G) = 3 - 0{,}2m + 1{,}5 - 0{,}3m - 0{,}5m = 4{,}5 - m Le jeu est équitable lorsque E(G) = 0, donc lorsque [formule]

   m = 4{,}50 €

5. Étape 5 : Le résultat général qui se cache derrière. Regardons le nombre 4{,}5 obtenu : c'est exactement l'espérance du gain brut. E(brut) = 15 2{10} + 5 3{10} + 0 5{10} = 3 + 1{,}5 = 4{,}5 € Et c'est nécessairement le cas, puisque G = brut - m donne E(G) = E(brut) - m par linéarité. Cette espérance s'annule pour m = E(brut). 👉 La mise équitable est toujours l'espérance du gain brut. Le savoir évite de refaire tout le calcul littéral — mais il faut savoir le retrouver, car c'est ce raisonnement qui est attendu.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Oublier de retrancher la mise sur la boule noire, et écrire P(G = 0) = 5{10} au lieu de P(G = -4). On trouverait E(G) = 2{,}5 € au lieu de 0{,}5 €, soit cinq fois trop. Ne rien gagner ne veut pas dire ne rien perdre : les 4 € ont été payés dans tous les cas. À retenir : Toujours écrire la ligne des gains nets avant le tableau, en soustrayant la mise à chaque issue, y compris celle qui ne rapporte rien. Et le raccourci de la question c), à savoir retrouver : mise équitable = espérance du gain brut, puisque E(G) = E(brut) - m.