Espérance et variance d'une loi binomiale

Énoncé

Dans une usine, 5% des pièces produites sont défectueuses. On prélève un échantillon de 200 pièces. Soit X le nombre de pièces défectueuses dans l'échantillon. a) Quelle loi suit X ? b) Calculer E(X), V(X) et (X). c) Interpréter les résultats.

Indice : Le prélèvement dans une grande production peut être modélisé par des tirages indépendants.

Correction

1. Étape 1 : **a)** X B(200 ; 0{,}05) car chaque pièce est défectueuse avec probabilité p = 0{,}05, indépendamment des autres.
2. Étape 2 : **b)** E(X) = np = 200 0{,}05 = 10. V(X) = np(1-p) = 200 0{,}05 0{,}95 = 9{,}5. (X) = 9{,5} 3{,}08.
3. Étape 3 : **c)** En moyenne, on attend **10 pièces défectueuses** dans l'échantillon, avec un écart type d'environ **3,08**. La plupart du temps, le nombre de pièces défectueuses sera compris entre 10 - 2 3{,}08 4 et 10 + 2 3{,}08 16.