Espérance et variance d'une loi binomiale

Énoncé

Dans une usine, 5% des pièces produites sont défectueuses. On prélève un échantillon de 200 pièces. Soit X le nombre de pièces défectueuses dans l'échantillon. a) Quelle loi suit X ? b) Calculer E(X), V(X) et (X). c) Interpréter les résultats.

Indice : Le prélèvement dans une grande production peut être modélisé par des tirages indépendants.

Correction

1. Étape 1 : Attention au modèle avant de calculer : on prélève 200 pièces sans les remettre dans la production. D'après l'exercice sur les schémas de Bernoulli, cela devrait interdire la loi binomiale. Ce n'en est pourtant pas une contradiction : c'est une approximation, et elle est légitime ici. Quand le sans-remise se traite comme un avec-remise : Lorsque l'échantillon représente moins de 10 % de la population, retirer les individus prélevés ne modifie pas mesurablement la proportion. On modélise alors par une binomiale. 👉 Prélever 200 pièces dans une production de plusieurs centaines de milliers laisse la proportion de défectueuses à 5 % à toutes fins utiles. Un énoncé qui parle de « la production d'une usine » vous invite implicitement à faire cette approximation — mais il faut la dire.
2. Étape 2 : a) Chaque pièce prélevée est défectueuse avec la probabilité p = 0{,}05, indépendamment des autres (par l'approximation ci-dessus), et X compte les défectueuses parmi n = 200 : [formule]

   X B(200\,;0{,}05)

3. Étape 3 : b) Les trois formules de la loi binomiale : E(X) = np = 200 0{,}05 = 10 V(X) = np(1-p) = 200 0{,}05 0{,}95 = 9{,}5 (X) = 9{,5} 3{,}08 👉 Contrôle gratuit et à faire toujours : pour une binomiale, V(X) = E(X) (1-p), donc la variance est toujours strictement plus petite que l'espérance. Ici 9{,}5 < 10 ✓

   E(X) = 10 ; V(X) = 9{,}5 ; (X) 3{,}08

4. Étape 4 : c) Interprétation. En moyenne, un échantillon de 200 pièces contient 10 pièces défectueuses. Mais tous les échantillons ne se ressemblent pas, et c'est l'écart type qui mesure cette variabilité : 3{,}08. Concrètement, la grande majorité des échantillons donneront entre 10 - 2 3{,}08 4 et 10 + 2 3{,}08 16 pièces défectueuses. C'est cette fourchette qui intéresse le service qualité : trouver 25 défectueuses dans un lot serait très inhabituel et justifierait d'aller voir la chaîne de production. ⚠️ Cette « règle des deux écarts types » est une indication, pas un théorème : elle vient de l'approximation normale et suppose n assez grand et p pas trop proche de 0 ou 1. C'est le cas ici.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Écrire V(X) = np au lieu de np(1-p). On trouverait V = 10 et 3{,}16 — très proche de la bonne valeur. C'est justement ce qui rend cette faute dangereuse : quand p est petit, (1-p) est proche de 1 et les deux résultats se ressemblent, donc rien n'alerte. Le contrôle V < E ne suffit pas non plus à la voir puisqu'ici V = E pile. 👉 Le seul remède est de poser la formule complète à chaque fois, sans la reconstituer de mémoire. À retenir : [formule] Et la lecture de : elle donne l'ordre de grandeur des écarts à attendre autour de la moyenne. C'est elle qui transforme un résultat de cours en information exploitable — ici, une fourchette de contrôle qualité.