Calculer P(X=k) avec la loi binomiale

Énoncé

Un vaccin a une efficacité de 80%. On vaccine 6 personnes choisies au hasard. Soit X le nombre de personnes immunisées. a) Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. b) Calculer P(X = 4). c) Calculer P(X = 6).

Indice : On répète 6 épreuves de Bernoulli indépendantes avec p = 0{,}8.

Correction

1. Étape 1 : **a)** Chaque vaccination est une épreuve de Bernoulli (succès = immunisation, p = 0{,}8). Les 6 épreuves sont indépendantes et X compte le nombre de succès. X B(6 ; 0{,}8).
2. Étape 2 : **b)** P(X=4) = 6{4} (0{,}8)^4 (0{,}2)^2 = 15 0{,}4096 0{,}04 = 0{,}2458.
3. Étape 3 : **c)** P(X=6) = 6{6} (0{,}8)^6 (0{,}2)^0 = 1 0{,}2621 1 = 0{,}2621.