Calculer P(X=k) avec la loi binomiale

Énoncé

Un vaccin a une efficacité de 80%. On vaccine 6 personnes choisies au hasard. Soit X le nombre de personnes immunisées. a) Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. b) Calculer P(X = 4). c) Calculer P(X = 6).

Indice : On répète 6 épreuves de Bernoulli indépendantes avec p = 0{,}8.

Correction

1. Étape 1 : Le mot « justifier » de la question a) n'est pas un ornement : c'est la partie notée. Écrire directement X B(6\,;0{,}8) sans rien montrer ne vaut aucun point. Justifier une loi binomiale : quatre mentions : 1. l'épreuve répétée, et son nombre : 6 vaccinations ; 2. les deux issues : la personne est immunisée, ou elle ne l'est pas ; 3. la probabilité de succès, la même à chaque fois : p = 0{,}8 ; 4. l'indépendance : les personnes sont choisies au hasard, donc l'une n'influence pas l'autre. Alors la variable qui compte les succès suit B(n\,;p).
2. Étape 2 : a) Les quatre mentions, appliquées à l'énoncé : on répète 6 fois la même épreuve « vacciner une personne » ; chaque épreuve a deux issues, immunisée (succès) ou non ; la probabilité de succès vaut p = 0{,}8 pour chacune, puisque l'efficacité annoncée est de 80 % ; enfin les personnes sont choisies au hasard, donc les épreuves sont indépendantes. X compte le nombre de succès parmi les 6, donc [formule]

   X B(6\,;0{,}8)

3. Étape 3 : b) P(X = 4) = 6{4}(0{,}8)^4(0{,}2)^2 6{4} = 6{2} = 15 par symétrie, (0{,}8)^4 = 0{,}4096 et (0{,}2)^2 = 0{,}04 : P(X = 4) = 15 0{,}4096 0{,}04 0{,}2458 ⚠️ L'exposant de p est le nombre de succès — ici 4 — et celui de 1-p le nombre d'échecs. Les deux doivent additionner à n : 4 + 2 = 6 ✓

   P(X = 4) 0{,}2458

4. Étape 4 : c) P(X = 6) = 6{6}(0{,}8)^6(0{,}2)^0 = 1 0{,}2621 1 0{,}2621 car 6{6} = 1 (une seule façon que toutes soient immunisées) et (0{,}2)^0 = 1. 👉 Situons ces deux résultats. E(X) = np = 6 0{,}8 = 4{,}8 : on attend donc environ 5 personnes immunisées sur 6. C'est bien ce que dit le calcul complet — P(X=5) 0{,}393 est la valeur la plus probable, encadrée par P(X=4) 0{,}246 et P(X=6) 0{,}262.

   P(X = 6) 0{,}2621

5. Étape 5 : L'erreur classique : Intervertir p et 1-p, c'est-à-dire écrire P(X=4) = 6{4}(0{,}2)^4(0{,}8)^2. On trouverait 15 0{,}0016 0{,}64 0{,}015. Ce résultat est absurde, et c'est ce qui doit alerter : avec un vaccin efficace 4 fois sur 5, avoir 4 personnes immunisées sur 6 est un événement très banal — il ne peut pas avoir une chance sur 65. À retenir : [formule] Deux contrôles gratuits, à faire systématiquement : les exposants somment à n, et l'exposant de p est le nombre de succès k. Puis situer le résultat avec E(X) = np : la valeur la plus probable est toujours proche de np.