Reconnaître un schéma de Bernoulli

Énoncé

Pour chacune des situations suivantes, indiquer si on peut modéliser par un schéma de Bernoulli. Si oui, préciser n, p et la variable aléatoire X. a) On lance 5 fois un dé et on note le nombre de 6 obtenus. b) On tire successivement 3 boules avec remise dans une urne contenant 4 rouges et 6 bleues. On note le nombre de boules rouges. c) On tire successivement 3 boules sans remise dans cette même urne. On note le nombre de boules rouges.

Indice : Un schéma de Bernoulli nécessite des épreuves indépendantes et identiques. Le tirage sans remise modifie les probabilités.

Correction

1. Étape 1 : Il n'y a rien à calculer dans cet exercice, seulement trois conditions à vérifier une par une sur chaque situation. C'est pourtant le plus utile du chapitre, parce que la faute qu'il prévient est invisible : appliquer la loi binomiale à un tirage sans remise donne des calculs impeccables sur un modèle faux. Les trois conditions d'un schéma de Bernoulli : 1. une même épreuve, répétée un nombre fixé de fois ; 2. deux issues seulement par épreuve — succès ou échec ; 3. les épreuves sont indépendantes. 👉 C'est presque toujours la condition 3 qui tombe, et presque toujours pour la même raison : un tirage sans remise.
2. Étape 2 : a) Oui. Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli : deux issues (obtenir un 6, ou non), de probabilité p = 1{6}. Les lancers sont indépendants car un dé n'a pas de mémoire, et leur nombre est fixé à 5. [formule]

   X B(5\,;1{6})

3. Étape 3 : b) Oui. Le tirage avec remise est exactement ce qui garantit l'indépendance : après chaque tirage l'urne retrouve sa composition initiale, donc la probabilité de succès ne bouge pas. Succès = « la boule est rouge », p = 4{10} = 0{,}4, répété n = 3 fois. [formule]

   X B(3\,;0{,}4)

4. Étape 4 : c) Non. Le tirage sans remise rend les épreuves dépendantes — et il vaut la peine de le montrer par le calcul plutôt que de l'affirmer : au 1ᵉʳ tirage, P(rouge) = 4{10} = 0{,}4 ; au 2ᵉ tirage si la première était rouge, il reste 3 rouges sur 9 boules : 3{9} 0{,}333 ; au 2ᵉ tirage si la première était bleue, il reste 4 rouges sur 9 : 4{9} 0{,}444. La probabilité de succès change d'une épreuve à l'autre, et dépend du résultat précédent. La condition 3 tombe, donc ce n'est pas un schéma de Bernoulli et la loi binomiale ne s'applique pas. (Une telle situation relève de la loi hypergéométrique, hors programme de Première.)
5. Étape 5 : L'erreur classique : Ne pas voir les mots « avec remise » / « sans remise ». Ils tiennent en deux mots dans l'énoncé et changent entièrement le modèle : c'est le premier réflexe de lecture sur tout exercice d'urne. ⚠️ Nuance importante, sinon on refusera à tort des exercices parfaitement corrects : quand la population est très grande devant l'échantillon — prélever 200 pièces dans une production de plusieurs centaines de milliers — retirer les pièces ne modifie pas mesurablement la proportion, et l'on modélise quand même par une binomiale. Le repère usuel : échantillon inférieur à 10 % de la population. Ici, 3 boules sur 10, on en est très loin. À retenir : Les trois conditions, dans l'ordre : même épreuve répétée un nombre fixé de fois, deux issues, indépendance. Le contre-exemple à garder en tête : tirage sans remise sur une petite population pas de schéma de Bernoulli, car p change à chaque tirage.