Problème complet avec variable aléatoire

Énoncé

Un fleuriste vend des roses à 3 € l'unité. Chaque jour, la demande X suit la loi : | x_i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | P(X=x_i) | 0{,}05 | 0{,}15 | 0{,}35 | 0{,}30 | 0{,}15 | a) Calculer E(X) et (X). b) Soit R = 3X la recette quotidienne. Calculer E(R) et (R).

Indice : Pour b), utilise les propriétés : E(aX) = a E(X) et (aX) = |a| (X).

Correction

1. Étape 1 : L'exercice a deux temps très différents, et c'est ce contraste qu'il faut voir : la question a) demande un calcul complet à partir du tableau, la question b) n'en demande aucun — seulement d'appliquer deux propriétés. Ce que fait un coefficient : [formule] 👉 Les trois ne se comportent pas de la même manière, et toute la question b) se joue là : l'espérance et l'écart type se multiplient par a, la variance par a^2. Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
2. Étape 2 : a) L'espérance. Somme des valeurs pondérées par leurs probabilités : E(X) = 0 0{,}05 + 1 0{,}15 + 2 0{,}35 + 3 0{,}30 + 4 0{,}15 E(X) = 0 + 0{,}15 + 0{,}70 + 0{,}90 + 0{,}60 = 2{,}35 Contrôle : 2{,}35 tombe bien entre 0 et 4 — et près du centre, ce qui est cohérent avec une loi presque symétrique. Le fleuriste vend en moyenne 2,35 roses par jour.

   E(X) = 2{,}35

3. Étape 3 : L'espérance des carrés, avec les mêmes probabilités : E(X^2) = 0^2 0{,}05 + 1^2 0{,}15 + 2^2 0{,}35 + 3^2 0{,}30 + 4^2 0{,}15 E(X^2) = 0 + 0{,}15 + 1{,}40 + 2{,}70 + 2{,}40 = 6{,}65 Puis variance et écart type : V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 6{,}65 - 2{,}35^2 = 6{,}65 - 5{,}5225 = 1{,}1275 (X) = 1{,1275} 1{,}062

   V(X) = 1{,}1275 ; (X) 1{,}062

4. Étape 4 : b) La recette vaut R = 3X puisque chaque rose est vendue 3 €. C'est le cas a = 3, b = 0 des formules ci-dessus : E(R) = 3 E(X) = 3 2{,}35 = 7{,}05 € (R) = 3 (X) = 3 1{,}062 3{,}19 € 👉 Contrôle par les unités, qui est ici le meilleur garde-fou : (X) se compte en roses, (R) en euros, et le prix vaut 3 €/rose. Le facteur ne peut donc être que 3. (Si l'on tient à la variance : V(R) = 3^2 1{,}1275 = 10{,}1475, et 10{,1475} 3{,}19 ✓ — même résultat.)

   E(R) = 7{,}05 € ; (R) 3{,}19 €

5. Étape 5 : L'erreur classique : Écrire (R) = 3^2 (X) = 9 1{,}062 9{,}56 €. C'est la variance qui prend le carré, jamais l'écart type — et le contrôle par les unités le refuse immédiatement. Autre confusion, sur le tableau : élever les probabilités au carré au lieu des valeurs, dans E(X^2). On obtiendrait un nombre inférieur à E(X), alors que E(X^2) [E(X)]^2 toujours (sans quoi la variance serait négative). À retenir : Un changement d'échelle multiplicatif se propage ainsi : E et par a, V par a^2. La valeur absolue dans (aX) = |a|(X) n'est pas décorative — un écart type est toujours positif, même si a est négatif. 👉 Et le réflexe qui sauve : contrôler par les unités. Une recette en euros, un écart type en euros, un prix en euros par rose : le facteur se lit sans aucun calcul.