Loi binomiale et probabilité cumulée

Énoncé

Un QCM comporte 10 questions avec 4 choix chacune. Un élève répond au hasard. Soit X le nombre de bonnes réponses. a) Quelle loi suit X ? b) Calculer P(X 1). c) Calculer la probabilité d'avoir la moyenne (au moins 5 bonnes réponses). Commenter.

Indice : P(X 1) = 1 - P(X = 0). Pour c), il faut calculer P(X 5).

Correction

1. Étape 1 : Les deux probabilités demandées ont un point commun : aucune ne se calcule directement, parce que chacune couvre plusieurs valeurs de X. Mais elles ne se traitent pas de la même façon, et savoir laquelle employer est tout l'exercice. « Au moins » se lit par le contraire : [formule] Le contraire de « au moins un succès » est « aucun succès » : un seul terme à calculer au lieu de dix. ⚠️ Ce raccourci ne vaut que pour le seuil 1. Pour « au moins 5 », le contraire est « au plus 4 », soit cinq termes — on ne gagne rien, il faut sommer directement les six termes de k = 5 à k = 10. 👉 Le réflexe général : compter les termes des deux côtés, et prendre le plus court.
2. Étape 2 : a) Les trois conditions du schéma de Bernoulli sont remplies : 10 questions, deux issues par question (bonne réponse ou non), et l'indépendance puisque l'élève répond au hasard à chacune. Le succès est « donner la bonne réponse », avec 4 choix dont un seul correct : p = 1{4} = 0{,}25. [formule]

   X B(10\,;0{,}25)

3. Étape 3 : b) On passe par le contraire : P(X 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 10{0}(0{,}25)^0(0{,}75)^{10} = 1 - (0{,}75)^{10} car 10{0} = 1 et (0{,}25)^0 = 1. (0{,}75)^{10} 0{,}0563, donc P(X 1) 1 - 0{,}0563 = 0{,}944 Lecture : en répondant entièrement au hasard, on a environ 94 % de chances d'avoir au moins une bonne réponse. Ce n'est pas une performance — avec 10 questions à 4 choix, tout rater serait au contraire assez remarquable.

   P(X 1) 0{,}944

4. Étape 4 : c) Avoir la moyenne, c'est X 5. Il faut sommer six termes : P(X 5) = _{k=5}^{10} 10{k}(0{,}25)^k(0{,}75)^{10-k} Les valeurs, arrondies : | k | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | P(X=k) | 0{,}0584 | 0{,}0162 | 0{,}0031 | 0{,}0004 | 0 | 0 | P(X 5) 0{,}0781 👉 On voit que les termes s'effondrent très vite : à eux deux, k = 5 et k = 6 font déjà 95 % de la somme. C'est ce qui rend l'approximation fiable même en s'arrêtant tôt.

   P(X 5) 0{,}078

5. Étape 5 : Commentaire. L'espérance situe l'élève moyen : E(X) = np = 10 0{,}25 = 2{,}5 bonnes réponses Et la probabilité d'atteindre la moyenne au hasard est d'environ 7,8 % : sur 100 élèves qui répondraient entièrement au hasard, plus de 92 n'auraient pas la moyenne. Répondre au hasard n'est donc pas une stratégie — c'est même à peu près la garantie d'échouer.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Mal traduire le contraire. Le contraire de X 5 est X 4, pas X < 5 mal recopié en X 5. Écrire P(X 5) = 1 - P(X 5) compte le terme k = 5 du mauvais côté et retire donc deux fois ce qu'il fallait ajouter. Le repère qui évite l'erreur : P(X k) = 1 - P(X k-1). Le -1 est indispensable. À retenir : « Au moins un » toujours par le contraire : 1 - P(X = 0), un seul terme. « Au moins k » pour k plus grand compter les termes des deux côtés et prendre le plus court. Ici, 6 termes à droite contre 5 à gauche : autant sommer directement.