Loi binomiale et probabilité cumulée

Énoncé

Un QCM comporte 10 questions avec 4 choix chacune. Un élève répond au hasard. Soit X le nombre de bonnes réponses. a) Quelle loi suit X ? b) Calculer P(X 1). c) Calculer la probabilité d'avoir la moyenne (au moins 5 bonnes réponses). Commenter.

Indice : P(X 1) = 1 - P(X = 0). Pour c), il faut calculer P(X 5).

Correction

1. Étape 1 : **a)** X B(10 ; 0{,}25) car 10 questions indépendantes avec p = 1{4}.
2. Étape 2 : **b)** P(X 1) = 1 - P(X=0) = 1 - 10{0}(0{,}25)^0(0{,}75)^{10} = 1 - (0{,}75)^{10} 1 - 0{,}0563 = 0{,}944.
3. Étape 3 : **c)** E(X) = 10 0{,}25 = 2{,}5 bonnes réponses en moyenne. P(X 5) 0{,}0781 (somme de P(X=k) pour k = 5 à 10).
4. Étape 4 : La probabilité d'avoir la moyenne en répondant au hasard est d'environ **7,8%**. Répondre au hasard n'est pas une bonne stratégie !