Espérance et équité d'un jeu

Énoncé

Un jeu de fête foraine coûte 3 € pour jouer. On lance 3 pièces équilibrées. On gagne 2 € par Pile obtenu. Soit X le nombre de Pile et G le gain net (G = 2X - 3). a) Donner la loi de X. b) Calculer E(G). Le jeu est-il favorable ?

Indice : X B(3 ; 0{,}5). Utilise E(G) = 2E(X) - 3.

Correction

1. Étape 1 : Deux variables cohabitent ici, et il ne faut surtout pas les confondre : X compte les Piles (c'est un nombre entre 0 et 3), tandis que G est un gain en euros. L'énoncé donne le lien entre les deux : G = 2X - 3. C'est une fonction affine de X, et c'est ce qui rend l'exercice court — car on n'aura jamais besoin d'écrire la loi de G. Linéarité de l'espérance : [formule] 👉 Toute la question b) tient dans cette propriété : on calcule E(X) par la formule binomiale, puis on transforme. Écrire la loi de G donnerait le même résultat au prix de quatre fois plus de calculs.
2. Étape 2 : a) On lance 3 pièces équilibrées, indépendamment, et X compte les Piles : X B(3\,;0{,}5). P(X = k) = 3{k}(0{,}5)^k(0{,}5)^{3-k} = 3{k} (0{,}5)^3 = {3{k}}{8} 👉 Le cas p = 0{,}5 est particulier et vaut d'être remarqué : les facteurs p^k et (1-p)^{n-k} se regroupent en (0{,}5)^3, la même valeur pour tout k. Seul le coefficient binomial distingue alors les valeurs, et la loi est symétrique. P(X=0) = 1{8}, P(X=1) = 3{8}, P(X=2) = 3{8}, P(X=3) = 1{8} Contrôle : 1 + 3 + 3 + 1{8} = 1 ✓

   X B(3\,;0{,}5)

3. Étape 3 : b) L'espérance de X par la formule binomiale : E(X) = np = 3 0{,}5 = 1{,}5 Puis la linéarité, avec a = 2 et b = -3 : E(G) = E(2X - 3) = 2 E(X) - 3 = 2 1{,}5 - 3 = 3 - 3 = 0 Le jeu est donc équitable. 👉 Contre-épreuve, pour ceux qui doutent de la propriété : G prend les valeurs -3, -1, 1, 3 avec les probabilités 1{8}, 3{8}, 3{8}, 1{8}, d'où E(G) = -3 - 3 + 3 + 3{8} = 0. Même résultat, beaucoup plus long.

   E(G) = 0 €

4. Étape 4 : Ce que « équitable » veut dire. E(G) = 0 signifie qu'à long terme, ni le joueur ni le forain ne gagne : sur un grand nombre de parties, le joueur récupère en moyenne exactement sa mise. Cela ne veut évidemment pas dire qu'on repart à zéro à chaque partie : on gagne 3 €, ou 1 €, ou l'on perd 1 € ou 3 €. C'est la moyenne qui est nulle. 👉 Un tel jeu n'existe d'ailleurs pas sur une vraie fête foraine : le forain doit couvrir ses frais, donc E(G) y est toujours strictement négatif pour le joueur.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Appliquer la linéarité à la variance de la même façon, et écrire V(2X-3) = 2V(X) - 3. C'est faux : la bonne relation est [formule] La constante b disparaît — décaler tous les gains de 3 € ne change rien à leur dispersion — et le coefficient a est mis au carré. Ici V(X) = np(1-p) = 3 0{,}5 0{,}5 = 0{,}75, donc V(G) = 2^2 0{,}75 = 3. À retenir : Un gain net s'écrit presque toujours G = aX + b où a est le gain unitaire et b la mise (comptée négativement). Alors : [formule] Il n'est jamais nécessaire d'écrire la loi de G. Et « le jeu est équitable » a un sens précis : E(G) = 0.