Loi binomiale : calculs

Énoncé

On lance 6 fois un dé équilibré. Soit X le nombre de 6 obtenus. a) Quelle loi suit X ? Préciser les paramètres. b) Calculer P(X = 2). c) Calculer E(X) et (X).

Indice : C'est un schéma de Bernoulli : on répète 6 fois la même épreuve (obtenir ou non un 6).

Correction

1. Étape 1 : Avant d'écrire la moindre formule, il faut justifier qu'on a affaire à un schéma de Bernoulli. C'est ce que le correcteur attend, et c'est aussi ce qui évite d'appliquer la loi binomiale là où elle ne s'applique pas. Les trois conditions à vérifier : 1. la même épreuve est répétée un nombre fixé de fois — ici 6 lancers ; 2. chaque épreuve n'a que deux issues, succès ou échec — obtenir un 6, ou non ; 3. les épreuves sont indépendantes — un lancer ne modifie pas les suivants. Alors la variable qui compte les succès suit la loi binomiale B(n\,;p). Ici les trois conditions sont remplies, puisqu'un dé n'a pas de mémoire.
2. Étape 2 : a) On répète n = 6 épreuves identiques et indépendantes, le succès étant « obtenir un 6 », de probabilité p = 1{6}. La variable X compte les succès, donc [formule]

   X B(6 \, ; 1{6})

3. Étape 3 : b) La formule de la loi binomiale, appliquée à k = 2 : P(X = 2) = 6{2} (1{6})^2 (5{6})^4 Chacun des trois facteurs a un sens précis, et c'est ce qui permet de ne pas les mélanger : - 6{2} = 15 : le nombre de façons de placer les deux 6 parmi les six lancers ; - (1{6})^2 : les deux succès ; - (5{6})^4 : les quatre échecs restants. P(X = 2) = 15 1{36} 625{1296} = 9375{46656} 0{,}201

   P(X = 2) = 9375{46656} 0{,}201

4. Étape 4 : c) Pour une loi binomiale, espérance et écart type se lisent directement sur les paramètres : E(X) = np = 6 1{6} = 1 (X) = np(1-p) = 6 {1{6} 5{6}} = {5{6}} 0{,}913 👉 E(X) = 1 se lit sans calcul : sur 6 lancers, comme un 6 sort une fois sur six, on en attend un en moyenne. Quand le résultat d'une formule se retrouve ainsi par le bon sens, c'est un contrôle gratuit — et ici il confirme le calcul.

   E(X) = 1 ; (X) = {5{6}} 0{,}913

5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier le coefficient binomial et écrire P(X = 2) = (1{6})^2(5{6})^4 0{,}0134. Ce nombre n'est pas faux — mais il répond à une autre question : c'est la probabilité d'une suite précise, par exemple « 6 au premier lancer, 6 au deuxième, puis quatre non-6 ». Or il y a 6{2} = 15 suites qui donnent deux 6, et l'énoncé ne dit pas lesquels. D'où le facteur 15. À retenir : [formule] Les exposants se contrôlent d'un coup d'œil : ils doivent toujours additionner à n (ici 2 + 4 = 6 ✓). Et l'on termine par E(X) = np, dont la valeur doit rester plausible : une espérance supérieure à n, ou négative, signale une erreur de paramètre.