Coefficients binomiaux

Énoncé

Calculer les coefficients binomiaux suivants : a) 5{2} b) 7{3} c) 10{0} et 10{10}

Indice : n{k} = n!{k!(n-k)!}. Rappel : 0! = 1.

Correction

1. Étape 1 : Un coefficient binomial compte des choix, il ne se contente pas d'être une formule : n{k} est le nombre de façons de choisir k objets parmi n, sans tenir compte de l'ordre. C'est cette lecture qui rend les résultats prévisibles, et qui permet de repérer une réponse aberrante. La formule, et ses deux réflexes : [formule] Deux propriétés à voir avant de calculer : n{0} = n{n} = 1 — une seule façon de ne rien choisir, une seule de tout prendre ; n{k} = n{n-k} — choisir les k qu'on prend revient à choisir les n-k qu'on laisse. Cette symétrie permet de toujours calculer avec le plus petit des deux nombres.
2. Étape 2 : a) 5{2} = 5!{2! 3!} = 120{2 6} = 120{12} = 10 👉 Il existe une écriture bien plus courte, qu'il vaut mieux prendre l'habitude d'employer : on garde k facteurs décroissants à partir de n, et l'on divise par k! — 5{2} = 5 4{2 1} = 20{2} = 10 Elle évite d'écrire 5! = 120 pour le simplifier aussitôt, et devient indispensable dès que n dépasse 10.

   5{2} = 10

3. Étape 3 : b) 7{3} = 7!{3! 4!} = 5040{6 24} = 5040{144} = 35 Avec l'écriture courte — trois facteurs décroissants depuis 7, divisés par 3! : 7{3} = 7 6 5{3 2 1} = 210{6} = 35 Lecture : il y a 35 façons de choisir 3 éléments parmi 7.

   7{3} = 35

4. Étape 4 : c) 10{0} = 10!{0! 10!} = 10!{1 10!} = 1 et 10{10} = 10!{10! 0!} = 1 Ces deux résultats se retrouvent sans aucun calcul : il n'y a qu'une seule façon de ne choisir aucun objet, et qu'une seule de les prendre tous. C'est d'ailleurs ce que dit la symétrie : 10{0} = 10{10}, puisque 10 - 0 = 10.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Poser 0! = 0. La convention est 0! = 1, et sans elle n{0} n'aurait aucun sens — on diviserait par zéro. Second piège, dans le calcul : diviser par k! seulement, en oubliant le (n-k)!. On trouverait 5{2} = 120{2} = 60 au lieu de 10, soit six fois trop. À retenir : Employer la forme courte — k facteurs décroissants depuis n, divisés par k! — et se servir de la symétrie pour choisir le plus petit des deux k possibles. 👉 Contrôle de plausibilité gratuit : n{k} est toujours un entier, et il ne peut jamais dépasser 2^n (le nombre total de sous-ensembles). Un résultat décimal, ou démesuré, signale une erreur de simplification.